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- 2021-04-12 发布
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江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题
一、 选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)
1.已知集合A＝，则A∩B的元素个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】联立，解得
即和的图象有3个交点，，，
∴集合有3个元素，故选B.
2.若两直线的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B. 若=，则两直线的斜率：k1= k2
C. 若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D. 若两直线的斜率：k1= k2 ，则=
【答案】D
【解析】由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，
所以，且，
根据正切在之间的定义域和单调性的关系，
可得，对于A中，当，此时，所以不正确；
对于B中，当，此时斜率不存在，所以不正确；
对于C中，当，此时，所以不正确；
对于D中，当，此时，所以是正确的，故选D．
3.平面向量与的夹角为，，，则等于 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于,所以,因此,因此,故选D.
4.已知直线的倾斜角为，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，选C.
5.设为等差数列, 其前n项和为.若，则( )
A. 54 B. 40 C. 96 D. 80
【答案】A
【解析】∵2a8＝a11+6
由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6
从而可得，a5＝6
由等差数列的前n项和可得，
故选A．
6.已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，取的中点，连接，则,
所以异面直线与所成角就是直线与所成角，
设正三棱柱的各棱长为,则，
设直线与所成角为，
在中，由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．
7.在中，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
即故选B．
8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则的值等于（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】由题意，若是函数的两个不同的零点，
可得，
因，可得，
又三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得或，解得或，
所以，则，故选C.
9.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，
，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为
又，当时，
在单调递减，
再由偶函数的对称性可知，解得
答案选C
10.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象；再把所得的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得，即，，当时，则的一个值是．
故选D．
11.正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
当且仅当，即时，“=”成立，
若不等式对任意实数恒成立，
则，
即对任意实数恒成立，
实数的取值范围是.
故选D.
12.已知球是正三棱锥的外接球，底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，
则，
在中，，解得，
，
在中，，
过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为，最小面积为．
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为．
故选B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)
13.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】要使在上递增，根据复合函数单调性，需二次函数对称轴在的左边，并且在时，二次函数的函数值为非负数，即，解得.即实数的取值范围是.
14.记不等式组表示的平面区域为，则圆在区域内的弧长为________．
【答案】
【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示
所以两条直线形成的夹角为
所以圆在区域内的弧长为
15.已知等差数列的公差,且成等比数列,若为数列的前项和,则的最小值为____________.
【答案】4
【解析】∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．可得,
则,
当且仅当n=2,等号成立.
故答案为4
16.已知函数满足，且,当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【详解】
由题意，可得，
可得，是周期为2的函数，
又由，
则函数的图象关于对称，
由当时，,可画出函数的图象，
作出直线的图象，如图所示，
要使得与有5个交点，
则当时， ,解得，当时，，解得，所以实数的取值范围是，
故答案为.
三、解答题(本大题共6小题,共75分,17题满分10分，其余满分12分)
17.（1）已知直线与.若，求的值.
（2）已知圆过两点，且圆心在直线，求圆的方程.
解：（1）因为，所以，解得.
（2）设圆方程为，则圆的圆心为
又由圆过两点，且圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆的方程为.
18.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列．
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前项和．
解：(1)设数列的公差为,则.
由成等比数列,得
即得 (舍去)或.
所以数列通项公式为
(2)因为
所以
19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面是等腰梯形，且 ，其中 .
（1）证明：平面 平面 .
（2）求点 到平面 的距离．
解：（1）过点作交于点.
因为底面 是等腰梯形，且 ，所以
在 中， ，同理可得
因为 与 相似，所以 ，
所以 ，则
因为 平面平面，所以
因为 平面平面，且 ，所以 平面
因为 平面 ，所以平面 平面
（2）因为平面，所以 ，
因为 ，所以
在 中，因为 ，
所以，
所以 ，则的面积为
设点到平面 的距离为，则三棱锥的体积
因为 ，所以，解得
故点到平面的距离为
20.在平面四边形中，已知，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长．
解：（1）在中，
即 ,解得.
所以.
（2）因为,所以 ，,
.
在中，, .
所以.
21.已知向量，，函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若对任意，，求实数取值范围．
解：（1）
当时，，，
所以的值域为．
（2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，；
当时，，恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．
22.对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
0
2
2
0
0
2
（1）求；
（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；
（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求()．
解：(1)
(2)
,周期为4 , 所以=.
(3)由题意得 由
又 而
从而有
此函数的最小正周期为6,
1)当 时.
.
2)当 时.
.