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- 2021-04-12 发布
黄冈市2017年秋季高二年级期末考试
数 学 试 题（文科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-4
2．已知命题：，总有，则为（ ）
A. ，使得 B. ，总有
C. ，使得 D. ，总有
3．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；至少有一个红球 B．至少有一个白球；红、黑球各一个
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；都是白球
9 12568
8 00124578
7 02233345569
6 022344457789
5 6689
4.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A. -3＜m＜0 B. -3＜m＜2 C. -3＜m＜4 D. -1＜m＜3
6．水滴在水面上形成同心圆，边上的圆半径以6m每秒的速度向外扩大，则两秒末时圆面积的变化速率为（ ）
A． B． C． D．
7．我国发射的“天宫一号” 宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A．千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
8．已知，则（ ）
开始
否
是
输出
结束
n=11，i=1
i=2i
n=n+i
n2(mod 3)？
n1(mod 5)？
是
否
第9题图
A. B. C. D.
9．若正整数N除以整数m后的余数为n，则记为：
(mod m)，例如(mod 4).下面程序框图的算
法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》。执行该程
序框图，则输出的i等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
10．在处有极小值，则常数c的值为
（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．1
y
-1
1
3
0
1
第11题图
11．为定义在上的函数的导函数，而的图象如图所示，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
12．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为______
14.过点向圆作两条切线，切点分别为，则过点 四点的圆的方程为 ．
15．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为_________
高
宽
第16题图
16．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度=k×宽×高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变),当高与宽的比值为_______时,横梁的强度最大.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）命题：关于的不等式，对一切恒成立。命题：方程表示焦点在点的左侧的抛物线，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
1
2
3
4
5
7.0
6.5
5.5
3.8
2.2
已知和具有线性相关关系
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润取到最大值？（保留一位小数）
参考数据及公式：，
19．（本小题满分12分）已知圆，直线过定点.
（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；
（Ⅱ）若与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.（其中点C是圆C的圆心）
20．（本小题满分12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，，，，，，现随机从中抽取2人上台抽奖.求和至少有一人上台抽奖的概率；
第21题图
是
开始
输入
输出“中奖”
输出“谢谢”
结束
否
（Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，并按如下所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值．
22.（本小题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当时，函数有最小值． 记的最小值为
，求函数的值域．
黄冈市2017年秋季高二数学参考答案（文科）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
B
A
D
B
A
C
A
D
C
13. 14. 15. 22.5 16.
17．解析：若为真命题，则△，所以 ……3分
若为真命题，则或 ……6分
由题设，命题和必有一真一假
（1）若真假，则 ∴ 或
（2）若假真，则 ∴
综上所述，或或 ……10分
18．解：（Ⅰ）可计算得，……4分
∴，，……………6分
∴关于的线性回归方程是……………8分
（Ⅱ）年利润，…………10分
其对称轴为，故当年产量约为2.7吨时，年利润最大 ……12分
19．解：（Ⅰ）直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切……2分
直线有斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得：，直线方程为 ……6分
（Ⅱ）面积最大时，，，即是等腰直角三角形，由半径得：圆心到直线的距离为……8分
设直线的方程为：，
直线方程为：， ……12分
20.解： （Ⅰ）由题意得，解得 ……………2分
（Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下： (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15种；设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件，其中事件的基本事件有9种.则.…6分
O
A
C
B
x
y
（Ⅲ）由已知，可得，点在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到区域为图中的阴影部分. ……9分
由，令得，令得.
∴
设“该运动员获得奖品”为事件，则其概率 ……………12分
21.解析（Ⅰ）由题意知：＝ ∴，∴.
又∵圆与直线相切， ∴，∴，
故所求椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，其中，
将代入椭圆的方程整理得：，
故．①
又点到直线的距离分别为，
．
所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．
所以当四边形面积的最大值时，=2.
22.解：（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝． …4分
（Ⅱ）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（Ⅰ）及x∈(0，e]得：
①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，
当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－． …6分
②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，
所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，
当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a)． …9分
令h(a)＝G(t)＝－t，
因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]．
综上，h(a)∈[－，－1]． …12分