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- 2021-04-12 发布
包头一中2017--2018学年第一学期期中考试试题
高二理科数学
一、 选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）
1、命题“ ” 的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2、 已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为18，为中点，为坐标原点，则等于（ ）
A. B.8 C.2 D.4
3、设，若（ ）
A． B． C. D．ln 2
4、 “”是“方程表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5、与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．
6、如果命题“”是真命题，则（ ）
A．命题p、q均为假命题 B．命题p、q中至少有一个是真命题
C．命题p、q均为真命题 D．命题p、q中至多有一个是真命题
7、若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程式为
，则该双曲线的离心率为（ ）A．或 B．或3 C． D．
8、已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ）A.4 B. C.8 D.
9、函数 满足（ ）
A. - 2 B、 2 C 、 0 D 、 1
10、、已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B（A在x轴上方）两点．若，则的值为（ ）A． B． C．2 D．3
11、已知双曲线的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
12、在椭圆上有一点，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点有（ ）A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
14、已知函数，则____________。
15、右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后（水足够深），水面宽 米。
16.如图，是椭圆与双曲线：
的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是________________。
三、 解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分）
17、（10分）若动点P在曲线上移动，求点P与连线段中点M的轨迹方程，并写出轨迹的焦点坐标。
18、（12分）已知抛物线上二点P、Q。若OPQ（O为原点）恰为等边三角形。求此三角形面积。
19、（12分）直三棱柱中，D是BC中点。
（1） 求证：∥平面；
（2） 若，AB⊥AC，求异面直线与AD所成的角的大小。
20、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，平面ABCD，ABC=60，E、F分别是BC、PC的中点．
P
B
E
C
D
F
A
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．
21、（12分）已知椭圆的两焦点分别为 ，长轴长为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆与两点，求的面积．
22、已知动点M(x,y)到直线:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1) 求动点M的轨迹C的方程;
(2) 是否存在过点N的直线m与轨迹C交于A, B两点. 使得以AB为直径的圆恰过原点。如果存在，求出直线m的方程；如果不存在，说明理由。
包头一中2017--2018学年第一学期期中考试试题
高二理科数学 答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
C
D
B
B
C
D
A
C
C
D
D
C
13、 14、 15、 16、
17、 设，
所以，得，焦点坐标（）
18、
19、 （1）连结，可证平行于OD，
可证∥平面；
（2） ，则为所求，异面直线角的大小为
（向量法相应给分）
20、（1）证明：由四边形为菱形，，可得
为正三角形．
因为为的中点，所以．又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（2）解法一：因为平面，平面，所以平面平面．
过作于，则平面，过作于，连接，
则为二面角的平面角，
在中，，，
又是的中点，在中，，
又， 在中，，
即所求二面角的余弦值为．
解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
，
，所以．设平面的一法向量为，
则因此
取，则，因为，，，
所以平面，故为平面的一法向量．又，
所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
21、（1）；
（2）的方程为②把②带入①得化简并整理得
，
22、（1）设，由，得
（2）显然若存在这样的直线，其斜率不为0.
假设存在这样的直线，设其方程为
得。
若AB为直径的圆过O，则
，无实数解。所以不存在。