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- 2021-04-12 发布
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江西省九江第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据题意，求得集合，再利用集合的运算，即可求解．
详解：由题意，，
所以，故选A．
点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
2．已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
详解：由题意，复数，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第三象限，故选C．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．若，则“成等比数列”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分析：根据等比数列的定义和等比数列的性质，即可判定得到结论．
详解：由题意得，例如，此时构成等比数列，而不成立，
反之当时，若，则，所以构成等比数列，
所以当时，构成等比数列是构成的等比数列的必要不充分条件，
故选B．
点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等比数列的性质，其中熟记等比数列的性质和等比数列的定义的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．
4．函数在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意，求得，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；
详解：由题意，函数，则，
所以，即切线的斜率为，
又，所以切线过点，所以切线的方程为，即，故选D．
点睛：本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程问题，其中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
5．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，求得，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率．
详解：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，
即，所以双曲线的离心率为，故选C．
点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
6．已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．
详解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，
又由，则，
则 ，故选A．
点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于对称，利用图象的对称性求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．
7．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D. 8
【答案】C
【解析】分析：由三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，即可利用体积公式，求解几何体的体积．
详解：由给定的三视图可知，该几何体表示一个棱长为的正方体切去一个以直角边长为的等腰直角三角形为底面，高为的三棱锥，
所以该几何体的体积为，故选C．
点睛：本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
8．如图所示，程序框图输出的某一实数中，若，则菱形框中应填入( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．
详解：由题意，当时，
第1次循环，不满足条件，；
第2次循环，不满足条件，；
第3次循环，不满足条件，；
第4次循环，不满足条件，；
第5次循环，不满足条件，，此时输出结果，
所以判断框填写的条件应为，故选B．
点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
9．中，，且，点满足，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解．
详解：由题意，以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，
设点，则，
又由，所以，即，
所以，所以，故选D．
点睛：本题主要考查了向量的坐标表示与向量的坐标运算问题，其中恰当的建立直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力．
10．设函数在上单调递增，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：求得函数的导数，令，求得函数的递增区间，又由在上单调递增，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．
详解：由函数，可得，
令，即，即，解得，
所以函数在上单调递增，
又由函数在上单调递增，所以，解得，故选A．
点睛：本题主要考查了根据函数的单调性利用导数求解参数的取值范围问题，其中熟记导函数的取值正负与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
11．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据球的体积公式求出球的直径，然后选项中的常数为，表示出，将四个选项逐一代入，求出最接近的那一个即可．
详解：由球的体积公式可得，设选项中的常数为，则，
选项A中，代入得；选项B中，代入得；
选项C中，代入得；选项D中，代入得，
又由选项B中的值最接近的真实值，故选B．
点睛：本题主要考查了求得体积公式的应用问题，其中正确理解题意，合理作答是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
12．关于函数，下列说法正确的是( )
A. 是周期函数，周期为 B. 关于直线对称
C. 在上是单调递减的 D. 在上最大值为
【答案】C
【解析】分析：利用正弦函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案．
详解：令，
对于A中，因为函数不是周期函数，所以函数不是周期函数，所以是错误的；
对于B中，因为，所以点与点关于直线对称，
又，所以，
所以的图象不关于对称，所以是错误的；
对于C中，当时，，
当时，函数为单调递减函数，所以是正确的；
对于D中，时，，所以是错误的，
综上可知，正确的为选项C，故选C．
点睛：本题主要考查了正弦函数的对称性、周期性、单调性及其函数的最值问题，其中熟记正弦函数的图象与性质，合理运算是解答此类问题的关键，着重考查了综合分析与应用能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知实数满足，则的最小值为__________．
【答案】-5
【解析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，把目标函数平移到点A处，求得函数的最小值，即可．
详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，
如图所示，
由目标函数，即，
结合图象可知，当直线过点在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，
又由，解得，
代入可得目标函数的最小值为．
点睛：线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.
14．在区间上随机地取三个不同的整数,则“这三个数是一个钝角三角形的三边长”的概率为______．
【答案】
【解析】分析：由题意，从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，设三角形的三边分别为 ，列举其中满足的共有5种，利用古典概型概率的计算公式即可求解．
详解：由题意，在区间中随机地取三个不同的整数，即从的六个数字中随机取出3个数，共有种方法，
设三角形的三边分别为 ，其中满足的共有：
，共有5种，
所以概率为．
点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中中正确理解题意，确定基本时间的额总数和得出事件中所包含的基本时间的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
15．已知，则________．
【答案】
【解析】分析：由题意，利用目标角和已知角之间的关系，现利用诱导公式，在结合二倍角公式，即可求解．
详解：由题意，
又由，
所以．
点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中正确构造已知角与求解角之间的关系，合理选择三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
16．设为抛物线的焦点，为抛物线上两点，若,则
____________．
【答案】12
【解析】分析：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，在直角三角形中，求得，进而得直线的斜率为，所以直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可求得答案．
详解：过点两点分别作准线的垂线，过点作的垂线，垂足为，
设，则，
因为，所以，
在直角三角形中，，,
所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
将其代入抛物线的方程可得，解得，
所以点，又由，所以
所以．
点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形，确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知数列的首项，等差数列 满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）．
【解析】分析：（1）由题意，当时，，当时，化简得，得数列是首项为1，公比为2等比数列，即可求解，进而得到；
（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和．
详解：（1）当时，
当时，
相减得
∴数列是首项为1，公比为2等比数列………………3分
……………………4分
∴
∴ ……………………6分
（2）……………………7分
……………………8分
相减得
……………………12分
点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
18．为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
170
178
166
176
180
74
80
77
76
81
（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．
【答案】（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．
【解析】分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；
（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有 件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；
（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．
详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得
所以乙厂生产的产品数量为30件……………………3分
（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品
由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）………………6分
（3）可能的取值为0，1，2
∴的分布列为：
0
1
2
……………………10分
∴……………………12分
点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．
19．已知菱形所在平面，，为线段的中点, 为线段上一点，且．
（1）求证： 平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】分析：（1）取的中点，连接，得，由线面平行的判定定理得平面，连接交与点,连接，得，进而得平面，再由面面平行的判定，得平面平面，进而得到平面．
（2）建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
详解：（1）证明：取的中点，连接
∵为的中点，
∴
∴平面．……………………2分
连接交与点,连接
∵为的中点，
∴
∴平面……………………4分
∵
∴平面平面
又平面
∴平面．…………6分
（2）如图，建立空间直角坐标系
则
∴………7分
设平面的法向量为
则，即
不放设得……………………8分
设平面的法向量为
则，即
不放设得……………………10分
则二面角的余弦值为……………………12分
点睛：本题考查了立体几何中的直线与平面，平面与平面平行的判定及应用，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是轨迹上位于第一象限且在直线右侧的动点，若以为圆心，线段为半径的圆与有两个公共点．试求圆在右焦点处的切线与轴交点纵坐标的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】分析：（1）由题知，原点到直线的距离，求得，再由，求得 ，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，由圆的方程和性质，又由椭圆的方程得，代入可得，求得，又由切线方程为，令得，令，利用二次函数的性质，即可求解得的范围，即可得到结论．
详解：（1）由题知，原点到直线的距离
又，则
∴椭圆方程为
………………4分
（2）设，点到轴的距离为，
∵圆M与y轴有两个交点，∴，
即，
∴，
又，
即，
∴，∴，
∴， ……………………7分
又，∴ ……………………8分
切线方程为，令得
令，则
……………10分
，则，在上为增函数
∴
∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分
(转化为求的斜率范围得到更为简便)
解法2：上面步骤相同
又，∴ ……………………8分
切线方程为，令得
又即
∴切线与轴交点纵坐标的取值范围为 ……………………12分
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21．已知函数 (是自然对数的底数).
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)当时，记，其中为的导函数.证明：对任意，.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】分析：(1)求得，由，得，令，利用导数求得，进而求得参数的取值范围；
(2) 当时，得，令，利用导数求解函数的单调性和最值，得，进而证得结论．
详解：(1)由得，，
由得.
令，则
令的，
当时，，递减；
当时，，递增.
则的取值范围取值范围是.……………………5分
(2) 当时，，
令，
所以
令得.
因此当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
.
即
又时，
故)，
则，
即对任意，.……………………12分
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
22．选修4-4：坐标系与参数方程．
已知直线（为参数），曲线（为参数）．
(1)设与相交于两点，求；
(2) 曲线为（为参数），点是曲线上的一个动点，求它到直线
的距离的最小值．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】分析：(1)由题意，，求得直线的普通方程，联立方程组，求得两点的坐标，即可求得的长；
(2) 根据曲线的方程，设点的坐标是，利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，再利用三角函数的性质，即可求解结果．
详解：(1)直线的普通方程为，的普通方程为．
联立方程组，解得与的交点为，则．………5分
(2) 曲线为（为参数），故点的坐标是，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．…………………10分
点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，把直线和曲线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)解不等式；
(2)若函数的最小值为，且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：(1)由知，分类讨论即可求解不等式的解集；
(2)由条件，根据绝对值的三角不等式，求得其最小值，即，再利用均值不等式，求得的最小值，进而得到的取值范围．
详解：(1)由知，解集为．（过程略）……5分
(2)由条件得，当且仅当时，
其最小值，即．
又，
所以，
此时，．
故的取值范围为．……………………10分
点睛：本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及均值不等式的应用求最值，其中熟记含绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式、均值不等式的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．