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- 2021-04-12 发布
赤峰二中高二年级上学期数学第一次月考试题（理）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）．
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..
【详解】因为原命题”若，则”是假命题;所以其逆否命题也是假命题,
因为逆命题”若,则”是真命题.所以否命题也是真命题.
所以命题“若，则”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个.
故选B.
【点睛】本题考查了四种命题,属基础题.
2.已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求得集合A,B，然后结合题意和恒成立的条件可得实数a的取值范围.
【详解】由题意可得：命题：，命题：，
命题是的必要不充分条件，故不等式，即在区间上恒成立，
据此可知：的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示，由必要不充分条件求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（ ）
A. 一条线段和半个圆 B. 一条线段和一个圆
C. 一条线段和半个椭圆 D. 两条线段
【答案】A
【解析】
【分析】
由原方程可得y=（-1≤x≤1，）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），进一步求出轨迹得答案．
【详解】由方程（3x-y+1）（y-）=0得y=（）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，
即或3x-y+1=0（-1≤x≤1），
∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆．
故选：A．
【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义的范围，是中档题．
4.若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据离心率大于2得到不等式：计算得到虚轴长的范围.
【详解】，，，
故答案选C
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，虚轴长，意在考查学生的计算能力.
5.平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A. 3x－y－20＝0 B. 3x－y－10＝0
C. 3x－y－12＝0 D. 3x－y－9＝0
【答案】A
【解析】
【分析】
设出和的坐标,把的坐标用的坐标表示，代入直线方程后即可得到结论.
【详解】设点坐标为，取直线上点的坐标为，
向量，
由， 得，即,
因为，
所以，
整理得，故选A.
【点睛】本题主要考查逆代法求轨迹方程，属于中档题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
6.已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设A（，），B（，），因为A、B在椭圆上将两式相减可得直线AB的斜率与直线OM的斜率的关系，建立关于a，b，c的方程，从而求出所求；
【详解】设A（，），B（，），又的中点为，则
又因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
∵,
∴，∴，平方可得, ∴=,，
故选A.
【点睛】本题主要考查了点差法求斜率，以及椭圆的几何性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
7.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先判断，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，则可得，求出 ，再根据离心率公式计算即可．
详解：根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则在双曲线上，解得
故选C．
点睛：本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于基础题
8.已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，若，则的值是（ ）
A. 2 B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用的内切圆圆心为，半径为2 ，由，结合双曲线的定义求出,通过离心率求出，然后求解即可.
【详解】点为双曲线右支上一点,
分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,
因为，
所以，
可得，
即，
双曲线的离心率为，可得,
则，故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
9.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用离心率乘积为，利用将离心率表示出来，构造一个关于的方程，然后解出的值，从而得到双曲线渐近线方程。
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，
则，
所以，所以双曲线的渐近线方程为：
，即，故选A.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率即双曲线的渐近线方程求离心率直接构造出关于的方程从而求出e，求双曲线渐近线方程则只需构造的方程，从而解出，便可得到渐近线方程。
10.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设P(),由椭圆的对称性设求的值得a,b的不等式求e即可
【详解】设P(),直线y=x过原点，由椭圆的对称性设
又两式做差，代入上式得,故
所以
故选：B
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题
11.如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接,可得三角形为等边三角形，过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，可得|=2c, , ||=, ||=，连接,利用双曲线的性质, 2a=||-||=-2c=,可得离心率e.
【详解】解：由题意得：
四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形
为等边三角形.
过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，
||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=,
则P(2c,), 连接, 则||=.
由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,
所以双曲线的离心率为e===，
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的相关性质及菱形的性质，灵活运用双曲线的性质是解题的关键.
12.设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，写出，再根据|TF1|＜4，求出a的范围即可．
【详解】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了共焦点的椭圆与双曲线的几何性质，也考查了计算能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用是的中位线求得,再利用椭圆定义列方程即可求解。
【详解】如图，是的中位线，
由得：，
由椭圆得：，即：
又，
解得：。
【点睛】本题主要考查了三角形中位线结论及椭圆的定义、标准方程，属于基础题。
14.设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则=__________．
【答案】3或7
【解析】
【分析】
由点在双曲线上，由双曲线的定义可知，根据，代入即可求解.
【详解】由双曲线的方程，可得，
因为点在双曲线上，由双曲线的定义可知，
因为，代入解得或.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的定义，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15.函数 （ ）， ，对 ， ，使 成立，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
，存在，使得，因此的值域为的值域的子集，故可求实数的取值范围．
【详解】由函数的图象是开口向上的抛物线，且关于对称，
所以时，函数的最小值为，最大值为，
可得的值域为，
又因为，所以为单调增函数，
的值域为，即，
因为对， ，使成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
【点睛】一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．
16.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：
①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；
③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，
其中，所有正确命题的序号是__________．
【答案】①②
【解析】
分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.
详解：
椭圆的两个焦点分别为
和，
短轴的两个端点分别为和，
设，点在椭圆上，
且满足，
由椭圆定义可得，，
即有在椭圆上，
对于①，将换为方程不变，
则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；
对于②，由图象可得，当满足，
即有，
即时，取得最小值，
可得时，
即有取得最小值为，故②正确；
对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，
则椭圆上满足条件的点有个，
不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.
，故答案为①②.
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.求下列各曲线的标准方程．
(1)长轴长为,离心率为,焦点在轴上的椭圆;
(2)已知双曲线的渐近线方程为,焦距为,求双曲线的标准方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆与双曲线方程与性质.(1) 设椭圆的方程为,由题意可得2a=12,,求出a,b,c可得椭圆方程;(2)分双曲线的焦点在x轴与y轴上两种情况,结合条件渐近线方程为,焦距为进行求解.
试题解析：
(1)设椭圆的方程为,
由题意可得2a=12,,
求解可得,
所以椭圆的标准方程为;
(2)当双曲线的焦点在x轴上时,
设双曲线的方程为
因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,
所以,
求解可得,
所以双曲线方程为;
当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线的方程为
因为双曲线的渐近线方程为,焦距为,
所以,
求解可得,
所以双曲线的方程为.
所以双曲线的标准方程为或.
18.已知命题：方程有两个大于-1的实数根，已知命题：关于的不等式的解集是，若“或”与“”同时为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由根的分布解出命题 ，讨论的取值解出命题，再由“或”与“”同时为真命题等价于真假，即可解出答案。
【详解】∵方程有两个大于-1的实数根，
∴解得即：.
∵关于的不等式的解集是，∴或，
解得，即：，∵“或”与“”同时为真命题，∴真假.∴，
∴解得.
【点睛】本题考查命题中参数的取值范围，有关四种命题及其真假判断、求参数的取值范围问题几乎在每年的高考中都会出现，多余函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下，解决这类问题应熟练把握各类知识点的内在联系，属于中档题。
19.已知直线与双曲线；
（1）当为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点，求值。
【答案】（1）当或时，直线与双曲线有一个交点（2）
【解析】
【分析】
（1）根据直线与双曲线的位置关系中直线与双曲线有一个交点的情况，讨论直线与双曲线的渐近线平行与不平行，解出即可得到答案。
（2）联立直线与双曲线可得到，，直线与双曲线交于、两点且以为直径的圆过坐标原点等价于，即，代入即可解出答案。
【详解】（1）直线过定点，双曲线渐近线方程为
，
①当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点，此时；
②当时，联立与得：，
若直线与双曲线只有一个交点，则，解得，
所以，当或时，直线与双曲线有一个交点；
（2）设点，，
联立与得：，
所以，，
因为以为直径的圆过坐标原点，所以，
所以，
解得.满足判别式大于0
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的交点问题，可直接联立方程组，消 或 ，再讨论方程解的个数，若方程无解则无交点，若方程有一个解则有一个交点，若方程有两个解，则有两个交点，属于中档题。
20.已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，
Ⅰ求椭圆C的方程．
Ⅱ斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
【答案】Ⅰ ．Ⅱ．
【解析】
【分析】
Ⅰ设椭圆方程为，由椭圆可得，解出即可得出．
Ⅱ解法一：设，，AB中点，直线AB的方程为，代入椭圆方程可得，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得N的坐标，可得AB的垂直平分线NG的方程为，进而得出．
解法二：设，，AB中点，把点A，B的坐标分别代入椭圆方程相减可得：，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得斜率，又，可得，又在椭圆内，即，可得，利用AB的垂直平分线为，即可得出．
【详解】Ⅰ设椭圆方程为，
则
由得
由得代入得，
即，即，或
，，得，
，，
椭圆方程．
Ⅱ解法一：设，，AB中点，
直线AB的方程为，
代入，整理得，
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，
则，，
，，
的垂直平分线NG的方程为，
时，，
，，，，
．
解法二：设，，AB中点，
由，得，
斜率，
又，，
，得，
在椭圆内，即，
将代入得，
解得
，
则AB的垂直平分线为，时，．
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、中点坐标公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.已知、是椭圆上的两点，且，其中为椭圆的右焦点.
（1）求实数的取值范围；
（2）在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在定点，使得为定值
【解析】
【分析】
（1）讨论直线的斜率为0与不为0,斜率为0时，直接得到，斜率不为0时，设直线为，联立可得到，.即可得到，又等价于，代入即可解出实数
的取值范围。
（2）假设存在点，使得为定值，令 由（1）的结果代入计算，得到为定值，即，解出即可得到答案。最后说明直线的斜率为0是也成立即可。
【详解】（1）由已知条件知：直线过椭圆右焦点.
当直线与轴重合时，.
当直线不与轴重合时，可设：，代入椭圆方程，并整理得.
设，，由根与系数的关系得，.
所以.又由得，所以，解之得.
综上，实数的取值范围是.
（2）设，则
为定值，所以，解得.
故存在定点，使得为定值.
（经检验，当与轴重合时也成立）
【点睛】本题考查椭圆的焦点直线与椭圆相交性质，一般情况过定点的直线有两种设法：①分斜率存在与不存在；②分斜率为0和不为0.属于难题。
22.如图所示，椭圆的中心为坐标原点，焦点，在轴上，且在抛物线的准线上，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过焦点，作两条平行直线分别交椭圆于，，，四个点.求四边形面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）抛物线的准线可得到，当点在短轴顶点时面积最大，根据面积即可求出，即可求出，即可写出椭圆方程。
（2）根据椭圆的对称性知道四边形为平行四边形，即，又，，设出直线与椭圆联立，即可得到，，代入，即可求出的最大值.
【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为，
∵焦点在抛物线的准线上，
∴，
∵当点在短轴顶点时面积最大，此时，
∴，，
∴椭圆方程为.
（Ⅱ）易知四边形为平行四边形，则，
而
由题意知直线斜率不为0,设直线为：
联立消 得 ，
由韦达定理有，
又因为，∴
，
设，则，
∴在上增函数，
所以，当时，取最大值6，此时，即.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的面积最大值问题，一般求椭圆的标准方程只需根据题意求出椭圆的基本量，即可写出答案；椭圆中的面积最值问题，一般是设直线-联立方程组-消（或)-韦达定理，利用参数将目标表示出来，再求目标函数的最值。属于难题。