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- 2021-04-12 发布
柳州一中新高二开学考试理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（ ）
A. B.
C. D.
2. 与函数y=x有相同图象的一个函数是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-，则f（-2）=（ ）
A. B. C. D.
4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（ ）
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 1或3
6. 为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（ ）
A. 13 B. 12 C. 10 D. 9
7. 已知A（1，4），B（8，3），点P在x轴上，则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
9. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知直线x+y-a=0与圆C：（x-a）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的取值为（ ）
A. 或 B. 1或 C. 2或 D. 1
1. 方程sinx=的根的个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. 在Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点，则∠ADB的余弦值等于（ ）
A. B. C. 0 D.
二、填空题（本大题共4小题）
3. cos75°=______．
4. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为______．
5. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）＞0，则x的取值范围是______．
6. 把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合，若对任意的，恒有，则k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题）
7. 已知A（x，0），B（2x，1），C（2，x），D（6，2x）．
（1）若向量与向量共线，求实数x的值；
（2）若A，B，C，D四点在一条直线上，求实数x的值．
8.
已知的一个零点是
（1）求f（x）的最小正周期
（2）当时，求函数的最大值以及最小值
1. 某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
[39.5，39.7）
10
[39.7，39.9）
20
[39.9，40.1）
50
[40.1，40.3]
20
合计
100
（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．
2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，F为B1C1的中点．
（1）证明A，C，F，E四点共面，并求四边形ACFE的面积；
（2）过A，C，F，E四点的平面把正方体截成两部分几何体，求两部分几何体体积之比（小比大）．
3. 已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（Ⅰ）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（Ⅱ）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．
1.
已知函数f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0．
（1）求a，b的值；
（2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键,属于基础题.
求出S中不等式的解集，确定出S，找出S与T的交集即可．
【解答】
解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（-∞，2]∪[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），
故选D.
2.【答案】D
【解析】解：由题意知所求函数与y=x表示同一个函数，故定义域、值域、对应法则都相同
又原函数y=x的定义域为R、值域为R
对于A：函数y==|x|的值域为[0，+∞），解析式及值域均与原函数的不同，故不正确；
对于B：=x，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），与原函数的不同，故不正确
对于C：函数=x，其定义域，值域均为（-∞，0）∪（0，+∞），与原函数的不同，故不正确
对于D：函数=x，与原函数的定义域、值域、对应法则都相同，故正确
故选D
如两个函数有相同的图象，则这两个函数表示同一个函数，需满足定义域、值域、对应法则都相同，分别验证即可得答案．
本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素（定义域、值域、对应法则）都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=x2-，则f（2）=4-=，
又由函数f（x）为奇函数，则f（2）=-f（-2）=-；
故选：C．
根据题意，由函数的解析式可得f（2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）=-f（-2
），即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进行分析．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积，是基础题．
【解答】
解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．
故选：C．
分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．
借助几何模型三棱锥分析．
6.【答案】A
【解析】解：由分层抽样得=，
解得n=13，
故选：A．
根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，点A（1，4）关于x轴的对称点为A′（1，-4），
连接A′B，交x轴于点P，此时|AP|+|BP|取得最小值，如图所示；
设点P（x，0），则=（x-1，4），=（8-x，3），
与共线，则3（x-1）-4（8-x）=0，
解得x=5
，
所以点P的坐标是（5，0）．
故选：B．
求出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，利用向量共线求出点P的坐标即可．
本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵；
∵=；
∴；
又；
∴与的夹角为．
故选：B．
根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的范围．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】
解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，
∴=，
ab==
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
10.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆C：（x-a）2+（y+a）2=1的圆心为（a，a），半径r=1，
若△ABC为等腰直角三角形，则圆心C到直线AB的距离d=r=，
又由AB的方程为x+y-a=0，
则有d===，
解可得：a=1或-1；
故选：B．
根据题意，分析圆的圆心与半径，结合等腰直角三角形的性质分析可得圆心C到直线AB的距离d=r=，又由点到直线的距离公式可得d===，解可得a的值，即可得答案．
本题考查直角与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式和圆的标准方程，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：方程sinx=的根的个数即为函数y=sinx 与直线y= 的交点的个数，
直线y= 过原点，在（0，10）上和函数y=sinx 有3个交点，在（-10，0）上也有3个交点，
在原点和函数y=sinx 有一个交点，在其它的区间上，这两个函数没有交点，
故这两个函数的交点个数为7，即方程sinx=的根的个数为 7，
故选：A．
方程sinx=的根的个数即为函数y=sinx 与直线y= 的交点的个数，
在（0，10）上有3个交点，在（-10，0）上也有3个交点，在原点有一个交点．
本题考查方程的根与两个函数的交点的关系，体现了转化的数学思想．
12.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点，
所以，BD=AD=DC=5．
在△ABD中，利用余弦定理=
故选：A．
直接利用勾股定理和余弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13.【答案】
【解析】解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=．
故答案为：
将所求式子中的角75°变形为45°+30°，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
14.【答案】0.3
【解析】解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，
基本事件总数n=，
选中的2人都是女同学包含的基本事件个数m=，
则选中的2人都是女同学的概率为p=．
故答案为：0.3．
基本事件总数n=，选中的2人都是女同学包含的基本事件个数m=，由此能求出选中的2人都是女同学的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15.【答案】（-1，3）
【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x-1）＞0等价为f（x-1）＞f（2），
即f（|x-1|）＞f（2），
∴|x-1|＜2，
解得-1＜x＜3，
故答案为：（-1，3）
根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2），即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2）是解决本题的关键．
16.【答案】（，]
【解析】解：∵把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合，
则把函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=sin（2x+）=cos2x的图象．
若对任意的，恒有，且f（）=cos=-=cos，
则＜k≤，
故答案为：（，]．
由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合余弦函数的图象，可得k的范围．
本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的恒成立问题，余弦函数的图象，属于中档题．
17.【答案】解：（1），
∵，
∴x2-4=0，解得x=±2；
（2）∵A，B，C，D四点在一条直线上，
∴，且，且，
∴x（x-1）-（2-2x）=0，解得x=-2或1；
由（1）知，若则x=±2，
∴若A，B，C，D四点在一条直线上，则x=-2．
【解析】（1）可求出，根据即可得出x2-4=0，从而求出x=±2；
（2）若A，B，C，D四点在一条直线上，则可得出且，根据（1）由得出x=±2，同样的方法，由可求出x=-2或1，从而得出x的值．
考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，“四点A，B，C，D在一条直线上“等价于“，且”．
18.【答案】解：（1）已知f（x）=sin（2x-φ）-1的最小正周期为=π．
∵f（x）的一个零点是，
∴sin（2•+φ）-1=0，求得cosφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x-）-1
，
（2）当时，2x-∈[-，]，
故当2x-=时，函数f（x）取得最大值为-1，
当2x-=-时，函数f（x）取得最小值--1．
【解析】（1）根据函数的解析式，求出f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，函数的最大值以及最小值．
本题主要考查正弦函数的周期性和零点，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19.【答案】解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分）
（2）这批乒乓球直径的平均值约为：
39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分）
【解析】（1）由已知条件能求出频率分布表和频率分布直方图．
（2）利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值．
本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，考查这批乒乓球直径的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
20.【答案】（1）证明：连接A1C1，
∵E为A1B1的中点，F为B1C1的中点，∴EF∥A1C1，
∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，则A1C1∥AC，
∴EF∥AC，则A，C，F，E四点共面．
在平面四边形ACFE中，EF∥AC，由题意可得AE=CF，
则四边形ACFE为等腰梯形，
EF=，AC=2，CF=，则F到AC的距离为．
∴四边形ACFE的面积S=；
（2）解：正方体ABCD-A1B1C1 D1的体积V=2×2×2=8．
棱台ABC-EB1F的体积=，
则剩余部分多面体的体积．
∴两部分几何体体积之比（小比大）为．
【解析】（1）由三角形中位线定理证明EF∥A1C1，再由平行公理证明EF∥AC，则A，C，F，E四点共面，由梯形面积公式求四边形ACFE的面积；
（2）求出正方体与棱台ABC-EB1F的体积，作差求出剩余多面体的体积，则答案可求．
本题考查空间中点、线、面间的位置关系，训练了多面体体积的求法，是中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
有：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0；
得 即
即直线l恒过定点（3，1）；
又（3-1）2+（1-2）2=5＜25，即点（3，1）在圆C内部；
故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（Ⅱ）圆C的圆心为C（1，2）；设直线l恒过定点P（3，1）；
当直线l 与直线CP垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；
此时，弦长最短为2；
直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为：y=2x-5；
故直线l与圆C所截得的弦长的最短长度为，此时直线l的方程y=2x-5；
【解析】（Ⅰ）直线（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）恒过定点（3，1），且该点在圆内；
（Ⅱ）当直线截圆的弦以定点（3，1）为中点时，弦长最短；
含有参数的直线要求出其所过定点，直线与圆中的问题要注意数形结合利用垂径定理．属于中档题．
22.【答案】解：（1）f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0，
即=1，f（1）=a+b-1=0，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知f（x）=（x-1）2，
g（x）==x+-2，g（|2x-1|）=|2x-1|+-2，
令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，则t∈[-1，3]，
g（t）=t+-2≥0，当且仅当t=，即t=1时等号成立，即|2x-1|=1，解得x=1；
g′（t）=，t∈[-1，1]时g′（t）＜0，g（t）单调递减；t∈[1，3]时，g′（t）0，g（t）单调递增；
∵g（）=2（-1），g（3）=，
∴g（3）＞g（），|2x-1|=3，解得x=2，
∴x=2时，g（|2x-1|）max=，x=1时，g（|2x-1|）min=0；
【解析】（1）f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0，知对称轴=1，f（1）=a+b-1=0，进而求解；
（2）令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，则t∈[-1，3]，g（t）=t+-2，进而求解；
（1）考查二次函数在对称轴处取最值，二次函数解析式的求法；
（2）考查复合函数的最值问题，取最值是的x
值，转化思想，函数求导，根据导函数确定单调区间；