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- 2021-04-12 发布
闵行区七校联考高二期中数学卷
一. 填空题
1.________
【答案】
【解析】
【分析】
由,再结合,可求出答案.
【详解】由题意,.
故答案:0.
【点睛】本题考查了极限的计算,考查了学生对极限知识的掌握,属于基础题.
2.已知，则与它同向的单位向量________（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】
求出,与同向的单位向量为,求出即可.
【详解】由题意,,则与同向的单位向量.
故答案为:.
【点睛】与同向的单位向量为,相反方向的单位向量为.
3.经过点且平行于直线的直线方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出所求直线的斜率,该直线又过点,可求出该直线的方程.
【详解】设所求直线为,直线的斜率为,故直线的方程为,化为一般方程为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了直线方程的求法,考查了平行直线的性质,属于基础题.
4.已知数列为等差数列，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由,可求出答案.
【详解】在等差数列中,.
故答案为:85.
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的应用,考查了等差中项的运用,属于基础题.
5.已知向量，，则在方向上的投影为________
【答案】
【解析】
【分析】
由在方向上的投影为,计算求解即可.
【详解】由题意,,,
设与的夹角为,则在方向上的投影为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了平面向量的投影,考查了向量的数量积的计算,考查了学生的计算能力,
属于基础题.
6.若数列为等比数列，且，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由数列是公比为的等比数列，可知也是等比数列,其公比为,利用等比数列的前项和公式可求出答案.
【详解】数列是公比为的等比数列，则也是等比数列,公比为,
.
【点睛】本题考查了等比数列性质,考查了等比数列前项和公式的运用, 考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
7.若数列的所有项都是正数，且（），则该数列的通项公式________
【答案】
【解析】
【分析】
当时,,与原式作差可求出的表达式,进而可求出数列的通项公式.
【详解】由题意,当时,,即,
当时,,
则,
化简得,即.
经验证时,符合,故数列的通项公式.
故答案:.
【点睛】本题考查了数列通项公式的求法,要注意验证时是否满足的表达式,属于基础题.
8.已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且,
,
则,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
9.已知无穷等比数列的前项和为，所有项的和为，且，则其首项的取值范围________
【答案】
【解析】
【分析】
无穷等比数列的公比满足,而,再结合,可求得,解不等式即可.
【详解】设无穷等比数列的公比为,,则,
因为,所以,
则,,
因为,所以,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了数列极限的应用,考查了学生对极限知识的掌握,要注意公式中,属于中档题.
10.在正△中，若，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由可得,利用向量的线性运算可得,再求出和即可.
【详解】由题意,,则,
,,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.
11.已知，数列满足，对于任意都满足，且，若，则________
【答案】
【解析】
【分析】
由,可先确定数列是以4为周期的数列,进而可得,再由可求出,由可求出,从而可求出答案.
【详解】由题意, ,
∵,∴,
则,故数列的周期为4.
,解得,
∵,∴.
,,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了数列的周期性,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
12.在直角中，，，，是内一点，且，若（），则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
将两边同时平方,展开计算可得到关于的等式,进而结合基本不等式可求出的最大值.
【详解】由题意,,,,.
将两边同时平方得:,
则,所以,当且仅当时取等号.
则,
即,
故的最大值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量的数量积的运用,利用基本不等式求最值是解决本题的一个较好方法.
二. 选择题
13.等差数列中，公差，且、、成等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由、、成等比数列，可得,即,将代入求解即可.
【详解】等差数列中，,,
因为、、成等比数列，所以,
即,解得.
故选:A.
【点睛】本题考查了等差数列的性质,等比中项的运用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
14.数列中，（），则数列的极限为（ ）
A. 0 B. 2 C. 0或2 D. 不存在
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出和时,数列的极限,比较发现二者不同,从而可选出答案.
【详解】当时,,,
当时,,,
显然,即数列的极限不存在.
故选:D.
【点睛】本题考查了数列极限的求法,考查了学生的推理能力,属于基础题.
15.有下列命题：①若与是非零向量，则；②若且，则；③若∥，∥，则∥；④；其中正确命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
结合平面向量的性质,对四个命题逐个分析可选出答案.
【详解】对于命题①,,故命题①正确;
对于命题②,取,,此时,显然,故命题②不正确;
对于命题③,取,此时∥，∥，则和不一定平行；故命题③不正确;
对于命题④,和都表示实数,表示与共线的向量,表示与共线的向量,故和不一定相等,即命题④不正确.
故正确命题的个数为1.
故选:B.
【点睛】本题考查了平面向量的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题.
16.已知向量和是互相垂直的单位向量，向量满足，，其中，设为和的夹角，则（ ）
A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小
C. 随着的增大，先增大后减小 D. 随着的增大，先减小后增大
【答案】B
【解析】
【分析】
分别以和所在的直线为轴和轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,
可得,,设,进而可得到的表达式,结合函数的单调性可选出答案.
【详解】分别以和所在的直线为轴和轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系,
则,,设,
因为，,所以,
则,
为和的夹角，,,,则,
显然为减函数,
又因为函数在上为增函数,所以随着的增大而减小.
故选:B.
【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.
三. 解答题
17.已知，，其中、分别是轴、轴正方向同向的单位向量.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【分析】
由题可得与的坐标,
（1）利用向量平行的坐标运算,可求出的值；
（2）求出,利用可求出的值；
（3）设与的夹角为，可得,结合,可求出答案.
【详解】由题意,,.
（1）∥，则,解得;
（2）,则,化简得,即.
（3）设与的夹角为，则,
因为为锐角,所以,即,
解得.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了平行向量的性质,考查了向量的模,考查了向量夹角的计算,属于基础题.
18.已知数列满足：，.
（1）计算数列的前4项；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）、、、 （2）
【解析】
【分析】
（1）分别将代入,可求得数列的前4项；
（2）将等号两端取倒数可得,即证数列是等差数列,由
的通项公式可求得的通项公式.
【详解】（1）,可得;,可得;,可得.
故数列的前4项为、、、.
（2）将等号两端取倒数得,,
则,即数列是以为首项,公差为1的等差数列,
则,即.
故的通项公式为.
【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法,考查了等差数列的判定,考查了学生的推理能力,属于基础题.
19.已知平行四边形中，若是该平面上任意一点，则满足（）.
（1）若是的中点，求的值；
（2）若、、三点共线，求证：.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）,再结合,可求出;
（2）设可得,结合,可得到,从而可证明.
【详解】（1）由题意,,
又,故,即.
（2）、、三点共线，设,
则,
又,故,即.
【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.
20.如图，已知点列、、、、（）依次为函数图像上的点，点列、、、（）依次为轴正半轴上的点，其中（），对于任意，点、、构成一个顶角的顶点为的等腰三角形.
（1）证明：数列等差数列；
（2）证明：为常数，并求出数列的前项和；
（3）在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；（3）存在;的值为，，
【解析】
【分析】
（1）利用点列为函数图像上的点，可求出的通项公式,进而可证明结论;
（2）与是等腰三角形,可得,两式相减可得到,进而可求得数列的前项和;
（3）要使为直角三角形,可得,结合数列的通项公式,分类讨论可求得的值.
【详解】（1）点列、、、、（）依次为函数图像上的点，所以,,则.
故数列是等差数列；
（2）与是等腰三角形,可得,相减可得,即为常数.
,,令,得,
因为,所以数列的奇数项可以构成一个以为首项,公差为2的等差数列,
数列的偶数项可以构成一个以为首项,公差为2的等差数列,
当为奇数时,,当为偶数时,,
则数列的前项和.
（3）要使为直角三角形,则,即,
当为奇数时,,则,即,
,为奇数,
当,得,当,得,时,不符合题意.
当为偶数时,,则,即,
当,得,时,不符合题意.
综上所述,存在直角三角形,此时的值为.
【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列的求和,考查了三角形知识的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的逻辑推理能力,属于难题.
21.已知，，对任意，有成立.
（1）求的通项公式；
（2）设，，是数列的前项和，求正整数，使得对任意，恒成立；
（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值.
【答案】（1） （2）或 （3）
【解析】
【分析】
（1）由可得,结合平面向量的坐标运算可得到的关系式,再结合可证明数列是等比数列,进而可求出通项公式;
（2）将两端同时除以,可得到,从而可证明数列
是等差数列,即可求出的表达式,进而求得的通项公式,通过判断其表达式特点,可求出满足题意的正整数;
（3）由题得,,利用裂项相消求和法可求出,结合不等式的性质,可求出的最小值.
【详解】（1）由题可得,则,
当时,可得.
时,,则,即,
故数列是以2为首项,公比为2的等比数列,通项公式为.
（2）,等式两端同时除以得:,即,
故是以为首项,公差为的等差数列,通项公式为,
则.
因为当，，当时,,所以当或时,取最大值,对任意，恒成立.
（3）由题意,,
则,故.
所以的最小值为.
【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示,考查了数列通项公式的求法,考查了利用裂项相消法求数列的前项和，考查了不等式性质的运用,属于难题.