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- 2021-04-12 发布
1．函数y＝sin＋cos的最小正周期和振幅分别是( )
A．π， B．π，2 C．2π，1 D．2π，
【答案】B
【解析】∵y＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝2sin，
∴T＝＝π，振幅为2.
2．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
3．已知函数f(x)＝sin ωx－2cos2＋1(ω>0)，将f(x)的图象向右平移φ个单位长度，所得函数g(x)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵f(x)＝sin ωx－2cos2＋1
＝sin ωx－cos ωx＝2sin，
则g(x)＝2sin＝2sin.
由图知T＝2＝π，
∴ω＝2，g(x)＝2sin，
则g＝2sin＝2sin＝2，
即－2φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－kπ，k∈Z.
又0<φ<，
∴φ的值为.
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，f(x1)＝2，f(x2)＝0，若|x1－x2|的最小值为，且f＝1，则f(x)的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【答案】B
【解析】由f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，
可知＝，∴T＝2，∴ω＝π，
又f ＝1，则φ＝±＋2kπ，k∈Z，
∵0<φ<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
令－＋2kπ≤πx＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
5．函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f 的一个零点为x＝－
D．f(x)在区间上单调递减
【答案】D
【解析】因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin的相邻的对称轴之间的距离为，
所以＝π，得ω＝2，即f(x)＝2sin，
所以f(x)的最大值为2，所以A错误；
当x＝时，2x＋＝π，所以f ＝0，
所以x＝不是函数图象的对称轴，所以B错误；
由f ＝2sin
＝－2sin，
当x＝－时，f ＝2≠0，
所以x＝－不是函数的一个零点，所以C错误；
当x∈时，2x＋∈，f(x)单调递减，所以D正确．
6.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若BC＝1，则cos2－sin cos －的值为( )
A. B. C．－ D．－
【答案】B
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈恒成立，则φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T＝π，ω＝2，
当x∈时，2x＋φ∈，
且|φ|≤，
由f(x)>2知，sin(2x＋φ)>，
所以解得≤φ≤.
8．若sin＝－，且α∈，则sin(π－2α)＝( )
A. B. C．－ D．－
【解析】由sin＝cosα＝－，且α∈，得sinα＝，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝－，故选D.
【答案】D
9．若将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
【解析】将函数y＝3cos的图象向右平移个单位长度，得y＝3cos＝3cos的图象，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A.
【答案】A
10．已知tanα＝－，则sinα·(sinα－cosα)＝( )
A. B. C. D.
【解析】sinα·(sinα－cosα)＝sin2α－sinα·cosα＝＝，将tanα＝－代入，得原式＝＝，故选A.
【答案】A
11．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【解析】f(x)＝2sin，设t＝ωx－，因为00，x∈R，m是常数)图象上的一个最高点为，且与点距离最近的一个最低点是，则函数f(x)的解析式为__________________．
【解析】f(x)＝sinωx－cosωx＋m＝2sin＋m，
因为点和点分别是函数f(x)图象上的最高点和最低点，且它们是相邻的，
所以＝＝－＝，且m＝，所以ω＝2，m＝－1.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin－1.
【答案】f(x)＝2sin－1
17．设函数f(x)(x∈R)满足f(x－π)＝f(x)－sin x，当－π0≥f 或f ＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，
即sin ≤－b－0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，
∴g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1.
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ