2018届二轮复习（文）数学思想领航四课件（全国通用） 29页

数学思想领航二轮复习 方法一　一般与特殊的转化问题 方法二　数与形的转化问题 方法三　形体位置关系的转化问题 四、 转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法 . 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 . 方法一 一般与特殊的转化问题 模型 解法 一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法 . 此方法多用于选择题和填空题的解答 . 破解此类题的关键点： ① 确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象 . ② 寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找 “ 特殊元素 ” ；由特殊问题转化为一般问题时，寻找 “ 一般元素 ”. ③ 转化为新问题，根据转化对象与 “ 特殊元素 ” 或 “ 一般元素 ” 的关系，将其转化为新的需要解决的问题 . ④ 得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论 . 典例 1 　已知函数 f ( x ) ＝ ( a － 3) x － ax 3 在 [ － 1,1] 上的最小值为－ 3 ，则实数 a 的取值范围是 √ 思维升华　 常用的 “ 特殊元素 ” 有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等 . 对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量 . 答案 解析 思维升华 解析　 当 a ＝ 0 时，函数 f ( x ) ＝－ 3 x ， x ∈ [ － 1,1] ，显然满足条件，故排除选项 A ， B ； 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ′ ( x ) ≤ 0 ， 所以 f ( x ) 在 [ － 1,1] 上单调递减， 综上，故选 D. √ 答案 解析 因为点 ( － 2 ，－ 1) 在可行域内， 又点 A (0 ，－ 2) 在可行域内， 方法 二 数与形的转化问题 模型解法 数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面 . 由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解 . 破解此类题的关键点： ① 数形转化，确定需要等价转化的数量关系 ( 解析式 ) 与图形关系 . ② 转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解 . ③ 回归结论，回归原命题，得出正确结论 . 典例 2 　某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为 ( 材料利用率＝新工件的体积 / 原工件的体积 ) 答案 解析 √ 思维升华 解析　 由三视图知该几何体是一个底面半径为 r ＝ 1 ，母线长为 l ＝ 3 的圆锥， 由题意知加工成的体积最大的正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 的一个底面 A 1 B 1 C 1 D 1 在圆锥的底面上，过平面 AA 1 C 1 C 的轴截面如图所示， 设正方体的棱长为 x ， 思维升华　 数与形转化问题，特别是空间转化问题，往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理，转化为平面几何问题来处理，降低维度，简化求解过程，降低难度 . 跟踪演练 2 　 已知直线 l ： y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0) 与椭圆 3 x 2 ＋ y 2 ＝ a 相交于 A ， B 两个不同的点，记直线 l 与 y 轴的交点为 C . 解答 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 解答 得 (3 ＋ k 2 ) x 2 ＋ 2 kx ＋ 1 － a ＝ 0 ， 得 ( － x 1 ，1 － y 1 ) ＝ 2( x 2 ， y 2 － 1) ， 解得 x 1 ＝－ 2 x 2 ， 此时椭圆的方程为 3 x 2 ＋ y 2 ＝ 5. 方法三 形体位置关系的转化问题 模型解法 形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法 . 主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化 . 破解此类题的关键点： ① 分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象 . ② 位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体 . 由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征 . ③ 得出结论，在新的几何结构中解决目标问题 . 解析 思维升华 典例 3 　如图，已知三棱锥 P — ABC ， PA ＝ BC ＝ ， PB ＝ AC ＝ 10 ， PC ＝ AB ＝ ， 则三棱锥 P — ABC 的体积为 __________. 答案 160 解析　 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中 ( 如图所示 ). 把三棱锥 P — ABC 补成一个长方体 AEBG — FPDC ， 易知三棱锥 P — ABC 的各棱分别是长方体的面对 角线 . 不妨令 PE ＝ x ， EB ＝ y ， EA ＝ z ， 解得 x ＝ 6 ， y ＝ 8 ， z ＝ 10 ， 从而知三棱锥 P — ABC 的体积为 V 三棱锥 P — ABC ＝ V 长方体 AEBG — FPDC － V 三棱锥 P — AEB － V 三棱锥 C — ABG － V 三棱锥 B — PDC － V 三棱锥 A — FPC ＝ V 长方体 AEBG － FPDC － 4 V 三棱锥 P — AEB ＝ 160. 思维升华　 形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不规则几何体特殊化，使问题易于解决 . 同时也要注意方法的选取，否则会跳入自己设的 “ 陷阱 ” 中 . 跟踪演练 3 　 如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， EF 是棱 AB 上的一条线段，且 EF ＝ 2 ，点 Q 是 A 1 D 1 的中点，点 P 是棱 C 1 D 1 上的动点，则四面体 PQEF 的体积 A. 是变量且有最大值 B. 是变量且有最小值 C. 是变量且有最大值和最小值 D. 是常数 答案 解析 √ 解析　 点 Q 到棱 AB 的距离为常数，所以 △ EFQ 的面积为定值 . 由 C 1 D 1 ∥ EF ，可得棱 C 1 D 1 ∥ 平面 EFQ ， 所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数， 于是可得四面体 PQEF 的体积为常数 .