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- 2021-04-12 发布
洛阳市2016——2017学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知为虚数单位，若实数满足，则的模为
A. 1 B. C. D. 2
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知，则且是且的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.一枚骰子先后抛掷两次，并记朝上的点数分别为m,n，已知m为2或4时，的概率为
A. B. C. D.
5.已知下列函数中是周期函数且最小正周期为的是
A.
B.
C.
D.
6.执行下面的程序，若输入的，则输出的结果为
A. 92 B. 46 C. 23 D. 1
7.等差数列为递增数列，若，则数列的公差d等于
A. 1 B. 2 C. 9 D. 10
8.已知向量与的夹角为，若
，则在方向的投影为
A. B. C. 1 D.
9.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为
A. B. C. D.
10.已知实数满足条件，若取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数的取值集合为
A. B. C. D.
11.等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最大值和最小值之和为
A. B. C. D.
12.四面体中，,则此此四面体外接球的表面积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为 .
14.若，则的二项展开式中的系数为 .
15.已知抛物线的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A,B两点，若，则弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为 .
16.已知函数（为自然对数的底数），若对任意的正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，
（1）若，且，求的长；
（2）若，求的取值范围.
18.（本题满分12分）如图，四边形和四边形均为直角梯形，,二面角是直二面角,
（1）证明：在平面上，一定存在过点C的直线与直线平行；
（2）求二面角二余弦值.
19.（本题满分12分）雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行雾霾落实情况抽查.
（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
（2）每个城市都要有四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的成绩评价为优的概率为，若四个专家组均评价为优，则检查通过，不用复检，否则要进行复检，设需进行复检的城市个数为X，求X的分布列和期望.
20.（本题满分12分）设椭圆的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆上关于原点对称的两点（B,C均不在x轴上），线段AC的中点为D，B,F,D三点共线.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设，过F的直线交E于M,N两点，直线MA,NA分别与直线交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆过点F.
21.（本题满分12分）设函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）有两个不相等的实数根，求证.
请考生从第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知
（1）将的解析式写出分段函数的形式，并作出其图象；
（2）若，对恒成立，求的取值范围.