安徽省亳州市第二中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 16页

‎2018—2019学年度第二学期期末质量检测 高二理科数学试卷 ‎（本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。）‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题（本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.i是虚数单位，若集合S=，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由可得，，，，.‎ 考点：复数的计算，元素与集合的关系.‎ ‎2.正数a、b、c、d满足，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ad与bc的大小关系不定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为a，b，c，d均为正数，又由a+d=b+c得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2‎ 所以（a2+d2）﹣（b2+c2）=2bc﹣2ad．①‎ 又因为|a﹣d|＜|b﹣c 可得a2﹣2ad+d2＜b2﹣2bc+c2，②‎ 将①代入②‎ 得2bc﹣2ad＜﹣2bc+2ad，‎ 即4bc＜4ad，所以ad＞bc 故选：C．‎ ‎3.（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 定积分的几何意义是圆的个圆的面积，计算可得结果.‎ ‎【详解】定积分的几何意义是圆的个圆的面积,‎ ‎∴，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题 ‎4.经过伸缩变换后所得图形的焦距（ ）‎ A. B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用，表示出，，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距．‎ ‎【详解】由得，代入得，‎ ‎∴椭圆的焦距为，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．‎ ‎5.的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。‎ ‎6.用数学归纳法证明时，由时假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B。‎ 点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解。‎ ‎7.已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为（ ）‎ X ‎0‎ ‎1‎ P A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c的值．‎ ‎【详解】由随机变量的分布列知，，，，‎ ‎∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题．‎ ‎8.在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ）‎ ‎（附：）‎ A. 6 B. 7 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：现利用正态分布的意义和原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于的概率，即可求解得到其人数．‎ 详解：因为其中数学考试成绩服从正态分布，‎ 因为，即 根据正态分布图象的对称性，可得，‎ 所以这个班级中数学考试成绩在分以上的人数大约为人，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题．‎ ‎9.已知直线（t为参数）与圆相交于B、C两点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．‎ ‎【详解】曲线（为参数），化为普通方程，‎ 将代入，可得，‎ ‎∴，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（ ）、‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，所以时，；时，.‎ 所以时，；时，；时，.选C.‎ 考点：导数及其应用.‎ ‎11.某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.‎ ‎【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，‎ 至少有两个场馆的名额相同的分配方法有 ‎（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），‎ 再对场馆分配，共有种，‎ 所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.‎ ‎12.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，B，C，D四个选项逐个进行二次求导，判断其在上的符号即可得选项.‎ ‎【详解】若，则，‎ 上，恒有；‎ 若，则，在上，恒有；‎ 若，则，在上，恒有；‎ 若，则.‎ 在上，恒有，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知i是虚数单位,若,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由 ‎ 即答案为 ‎14.若，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，得，令，得，则 ‎.‎ 点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或.‎ ‎15.已知函数的导函数为，且满足，则________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对函数求导，然后利用方程思想求解的值即可.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 令可得：，则.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16.若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】[1，＋∞)‎ ‎【解析】‎ 函数在区间上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°‎ ‎（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°‎ ‎（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°‎ ‎（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°‎ ‎（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论 ‎【答案】见解析 ‎【考点定位】本题主要考察同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据式子的结构规律，得，由三角函数中的恒等变换的公式展开即可证明．‎ 试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，‎ 故这个常数为．‎ ‎（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式 sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=‎ 证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=‎ 考点：三角恒等变换；归纳推理．‎ ‎18.为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示：‎ 支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数 ‎200‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎100‎ 现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率.‎ ‎（1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率；‎ ‎（2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格，得出顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率，之后应用互斥事件有一个发生的概率和独立事件同时发生的概率公式求得结果；‎ ‎（2）利用二项分布求得结果.‎ ‎【详解】(1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，‎ 设Y为三人中使用微信支付的人数，Z为使用现金支付的人数，‎ 事件A为“三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数”，‎ 则P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎(2)由题意可知,故所求分布列 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)=‎ ‎【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立事件同时发生的概率公式，互斥事件有一个发生的概率公式，独立重复试验，二项分布的分布列和期望，属于简单题目.‎ ‎19.设且，函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处切线的斜率；‎ ‎（2）求函数的极值点．‎ ‎【答案】(1).(2) 见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知中函数 ，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．‎ ‎（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由已知得x>0.‎ 当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，‎ 所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.‎ ‎(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋‎ ‎＝＝.‎ 由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.‎ ‎①当00，函数f(x)单调递增；‎ 当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ 此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．‎ ‎②当a>1时，‎ 当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；‎ 当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ 此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．‎ 综上，当01时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．‎ 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题. 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ ‎20.已知曲线C的参数方程为（a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l最大距离.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方和为1消去参数得到曲线C的直角坐标方程，再利用，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 两式两边平方并相加，得，‎ 所以曲线表示以为圆心，2为半径的圆.‎ 将代入得，化简得 所以曲线的极坐标方程为 ‎（2）由，得，即，得 所以直线的直角坐标方程为 因为圆心到直线 的距离，‎ 所以曲线上的点到直线的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.‎ ‎21.我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知，，金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.‎ ‎（1）求m，n值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？‎ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 ‎10‎ ‎50‎ 合计 附：，其中 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ K0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1），（2）没有90%的把握 ‎【解析】‎ 分析：（1）由题意知 且，得，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；‎ ‎（2）由题知数据完善2×2列联表，计算，查表下结论即可.‎ 详解：（1）由题意知 且 解得 ‎ 所求平均数为：‎ ‎(元) ‎ ‎（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表： ‎ 高消费群 非高消费群 合计 男 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 女 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 根据上表数据代入公式可得 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．‎ 点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）求证：当时，函数的图象在的下方．‎ ‎【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论.‎ 试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以 因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，‎ 所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.‎ ‎(2)证明：令，‎ 所以 因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上减函数，‎ 所以.所以f(x)