- 1.48 MB
- 2021-04-12 发布
绝密★启用前
2017-2018学年度新大陆学校10月第一次模拟测试
（理科数学）
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
单选，每题5分。
评卷人
得分
一、选择题
1．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁UB）=（ ）
A. （0，+∞） B. （﹣∞，1） C. （﹣∞，2） D. （0，1）
2．下列说法错误的是 ( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
3．命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4．已知0＜a＜1，则a2、2a、log2a的大小关系是（ ）
A. a2＞2a＞log2a B. 2a＞a2＞log2a C. log2a＞a2＞2a D. 2a＞log2a＞a2
5．在△ABC中，“＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．已知函数的图象的一个对称中心为，则函数的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
8．已知 （ ）
A. B. C. － D.
9．设9．已知函数为奇函数，且当时， ，则________．
A. 1 B. 3 C.0 D.
10．已知等边边长为4， 为其内一点，且，则的面积为 （ ）
A. B. C. D.
11．函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
12．设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
评卷人
得分
二、填空题（每题5分）
13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考的好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了．
14．已知向量， 满足•=0，||=1．||=2，则|+|=__________．
15．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为____________.
16．给出下列命题：
(1)若函数的定义域为，则函数的定义域为；
(2)已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
(3)函数的单调递减区间是；
(4)若，则的图象关于直线对称；
(5)已知,是定义域内的两个值,且，若,则是减函数；
其中正确命题的序号是____________．
评卷人
得分
三、解答题（17~21每题12分，22题10分）
17．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．
（1）求角A 的大小；
（2）设函数当时，若，求b的值．
18．
甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
(I)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；
(II)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的期望E(X).
19．如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、
（1）求证：直线平面19如图，四棱锥中， ， 为线段上一点， 为的中点．
（1）证明： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
20．已知椭圆20． 已知A，B，C是椭圆C： （a>b>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，||＝2||
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且||＝||，求实数t的取值范围．
21．已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；
(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞3；
（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】∁UB=（- ，1），A∪（∁UB）=
A=（0，2） A∪（∁UB）=（﹣∞，2）
故选C.
2．C
【解析】
试题分析：A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
对，逆否命题知识将原命题条件与结论交换并加以否定；
B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件，对，由x＞1可得|x|＞1，但由|x|＞1得到的是x＞1或x<－1;
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题，不对，因为，p且q为假命题时 ，p,q有一为假命题，其即为假命题；
D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”对，因为存在性命题的否定是全称命题。故选C
考点：本题主要考查命题的概念，充要条件的概念。
点评：基础题，充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合。充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。存在性命题的否定是全称命题。
3．D
【解析】当时，所以命题为假；当时，所以命题为真，因此为假； 为假； 为假； 为真，选D.
4．B
【解析】已知0＜a＜1，故log2a； , ,
故选B；
5．B
【解析】
考点：数量积表示两个向量的夹角．
分析：以A为起点的两个向量数量积大于零，说明它两个的夹角是锐角，但不能说明其他角的情况，当三角形是锐角三角形时，以三个顶点为起点的每组向量数量积都大于零．
解答：解：∵以A为起点的两个向量数量积大于零，
∴夹角A是锐角，但不能说明其他角的情况，
∴在△ABC中，“”不能推出“△ABC为锐角三角形”，
∵△ABC为锐角三角形，
∴，
∴前者是后者的必要不充分条件，
故选B
点评：两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
6．C
【解析】由题意得
因此
所以选C.
7．B
【解析】根据偶函数的定义，可以判断A和B是偶函数，而在上是增函数，根据排除法故选B.
8．B
【解析】.
由与垂直，可得.
解得.
故选B.
9．D．
；
【解析】因为时， ，所以，又为奇函数，所以，故填.
【解析】∵10．B
【解析】∵，∴．如图所示，
延长到点，使得，分别以为邻边作平行四边形，则，又，可得，∴
，∴，∴，故选B.
点睛：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是作出辅助线，根据向量的知识得出各小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题；根据题意，作出图形，利用向量的关系，求出与的面积关系，即可得出.
11．A
【解析】因为，所以函数为奇函数，去掉B,D；当时， ,去掉C，选A.
12．A
【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），
∴y0=sinx0∈[﹣1，1]．
函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．
下面证明f（y0）=y0．
假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．
同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．
综上可得：f（y0）=y0．
令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．
令g（x）=ex+x（x∈[﹣1，1]）．
g′（x）=ex+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．
∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是．
故选：A．
点睛：本题利用正弦函数的有界性明确y0∈[﹣1，1]，结合函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增， 等价于f（y0）=y0，从而问题转化为a=ex+x在[﹣1，1]上的值域问题.
13．乙 ，丙
【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。故答案为：乙，丙。
14．
【解析】∵•=0，||=1．||=2，
∴
∴|+|=．
故答案为： ．
15．8
【解析】因为，所以，
又，解方程组得，由余弦定理得
，所以.
16．(2)(4)
【解析】（1）因为的定义域为，由得，所以定义域为，故(1)错； (2) 时， 可取的值为，所以满足的映射共有个，故(2)正确； （3）由反比例函数的图象和性质知， 的单调递减区间有两个， 和，故(3)错； (4) 因为，令，所以函数的图象自身关于直线对称,故(4)正确；
必须是任意取值，故（5）错误.
故答案为：(2)(4)
17．(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（I）利用余弦定理求出cosA，根据A的取值范围，求得A的值．
（Ⅱ） 利用二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x） =，由 求得，再根据B的范围，求得B的值，再由正弦定理求得b的值．
试题解析：
（1）在△ABC中，由余弦定理知，
注意到在△ABC中，0＜A＜π，所以为所求．
（2），
由，得，
注意到，所以，由正弦定理，，
所以为所求．
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.
18．(1) ；(2)377.5万元.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合等差数列的性质可得总决赛共比赛了5场，结合二项分布公式可得总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率是；
(2)由题意可知随机变量X可取的值为220，300，390，490.结合随机变量的值求得概率值，然后求解均值可得E(X)=377.5万元.
试题解析：
(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.
设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，
所以Sn＝＝300.
解得n＝5或n＝－12(舍去)，所以总决赛共比赛了5场
则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为.
所以总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率为.
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.
,
,
,
,
所以X的分布列为
X
220
300
390
490
P
所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元).
19．(1)见解析；(2) 与平面
19. （1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）取中点，连结,利用平行四边形证得，所以平面；（2）在三角形中，利用余弦定理计算得，所以，则，由于平面平面，且平面平面，所以平面，则平面平面，在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角，计算得.
试题解析：
（1）证明：取中点，连结．∵为的中点，
∴，
又且，
∴，则，
∴四边形为平行四边形，则，
∵平面平面，
∴平面．
（2）在三角形中，由，得
，
，则，
∵底面平面，
∴平面平面，且平面平面，
∴平面，则平面平面，
在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。
在中，由，得，∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)＋＝1. (2)
【解析】试题分析：（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。
试题解析：（1）由A的坐标为(2，0)，所以， ，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。
（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-20，得x>1.
所以x＝1时，f(x)有极小值为1.
y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)f′(x)＝－＋＝，且a≠0.
令f′(x)＝0，得x＝.
若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，
即y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.
当a<0时，f′(x)<0对x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减，
故y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即a∈.
当a>0时，
①若e≤，即00，显然，y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．
②若0<，则有
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↓
极小值
?↓
所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln，
由f＝a＋aln＝a(1－ln a)<0，得
1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．
综上可知，a∈∪(e，＋∞)．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最值问题，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大．
22．（1）解集是{x|x＞1或x＜﹣2},(2) m≥﹣1或m≤﹣2.
【解析】试题分析：（1）零点分区间，去掉绝对值，得到 或 或 再解得不等式组即可；（2）f（x）的最小值是1，故只需m2+3m+2≥0即可，
由|x|+|x+1|＞3，得
或 或
解得：x＞1或x＜﹣2，故不等式的解集是{x|x＞1或x＜﹣2}；
（2）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，
而f（x）= 故f（x）的最小值是1，
故只需m2+3m+2≥0即可，
解得：m≥﹣1或m≤﹣2．