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- 2021-04-12 发布
2017岳阳县一中高二下期段考试卷
数学(理科)
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．命题的否定为 （ ）
A. ， B.
C. ， D.
3．若函数在上既是奇函数，又是增函数，则
的图象是 （ ）
4．设、是两个不同的平面，是一条直线，以下命题：①若，，
则；②若，，则； ③若，，则；④若，
，则；其中正确命题的个数是 （ ）
A. B. C. D.
5．设为实数，直线，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6．在区间上任取一数，则的概率是 （ ）
A． B． C. D．
7．已知点在不等式组所表示的平面区域上，点在曲线
上，那么的最小值是 （ ）
A． B．1 C． D．
8．若下列程序框图中输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于 ( )
A.720 B.360 C.240 D.120
9．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从
2006名学生中剔除6名，再从2000名学生随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取
的概率分别是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，（其中）
的部分图象如图所示．设点是图象上轴右侧的
第一个最高点，，则的面积是（ ）
A. B.
C. D.
11．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，
点E为线段AD的中点，，则λ=（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，把函数的零点按从小
到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，则函数的最大值是
3
正视图
4
俯视图
14．在中，，，
，则的长度为_ _
15．一个正三棱柱的正视图和俯视图如图
所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
16．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，
当，且时，都有给出下列命题：
①；②直线是函数的图象的一条对称轴；
③函数在上为增函数； ④函数)在上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)已知实数满足，其中；
实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数
的最大值为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程＝在∈
上有解，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列的前5项积为243，且为和的等
差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足（且），且，求数列的前项和．
P
A
B
C
D
F
E
20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，、分别为棱、的中点.
⑴求证：∥平面；
⑵求三棱锥的体积；
⑶求二面角的正切值。
21．（本小题满分12分）某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。为了
研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计
了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：
分别加以统计，得到如图所示的频率
分布直方图。
（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；
（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2
列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 附表：
,其中为样本容量
22．（本小题满分12分）已知函数满足以下条件：①定义在正实数集上；
②；③对任意实数，都有。
（1）求,的值；
（2）求证：对于任意，都有;
（3）若不等式,对恒成立，
求实数的取值范围。
参考答案
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C 11．B 12．C
13．5 14． 15． 16．①②④
17．（1）；（2）．
解析：（1）对由得，因为，
所以
当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．
又为真时实数的取值范围是 若为真，则真且真，
所以实数的取值范围是
（2）是的必要不充分条件 ，即，且，
设，则
又；
所以有解得，所以实数的取值范围是
18．（1）（2）-3≤m≤
解析：（1）
，
由，解得，
所以函数的单调递增区间
（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
（ 或写成）
当时，即时,
，取最大值; 当时，
即时,，取最小值-3．
方程＝在∈上有解，即 .
19．（1） （2）
解析：（1）由前5项积为243得：，设等比数列的公比为，
由为和的等差中项得：，由公比不为1，
解得：，所以．
（2）由，得
，所以所以数列，
所以它的前项和
P
A
B
C
D
F
E
G
O
M
所以．
20．解析：(1)略 (2) (3)
⑴取中点，连结、
∵为的中位线，
∴∥且
又∥且，∴∥且，
∴是平行四边形，∴∥又，，
∴∥面
⑵取中点，连结
∵，为正三角形，∴，且
又为面斜线，为中点，∴到面距离，
故
⑶连交于，易证得≌
∴，∴，∴
连，由三垂线定理可知，是二面角的平面角，
在中，，∴，
∴，即二面角的正切值为
21．(1),（Ⅱ）见解析.
解析：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于
110分的学生中，男生有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2； ………………2分
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1， A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）； 故所求的概率为P=．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…7分
据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生
非数学尖子生
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
（9分）所以得 ；
因为1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”
22．解析：（1）令，得：
,,,
（2）证明：设，均为正数 ,则存在使得，[来源]
（3）先证在正实数集上单调递减：
设，且,令：，（），，，
则由（2）知
-==，则函数在上是减函数.再求取值范围：
因为且，又，在区间上有定义
定义在正实数集上 可得：
，对恒成立，
……（1）
,对恒成立，恒成立（2）由（2）中令 ,得：，，则原不等式
可整理为：
上单调递减
直线在
左侧，令在上为减函数，
需要最大值为，即，
（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范围是