2019届二轮复习分类与整合思想、转化与化归思想课件（68张）（全国通用） 68页

第四篇 　渗透数学思想 ， 提升学科素养 ( 二 ) 分类与整合思想、转化与化归思想 分类与整合思想 栏目索引 转化与化归思想 数学 素养专练 一、概念、定理分类整合 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列 { a n } 的前 n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决 . 解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论 . 汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合 . 分类与整合思想 1. 若一条直线过点 (5,2) ，且在 x 轴， y 轴上截距相等，则这条直线的方程为 ______________________ _ _. 解析　 设该直线在 x 轴， y 轴上的截距均为 a ， 求得 a ＝ 7 ，则直线方程为 x ＋ y － 7 ＝ 0. 答案 解析 x ＋ y － 7 ＝ 0 或 2 x － 5 y ＝ 0 2 . 已知 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 S n ＝ 2 a n － 2 ，则 S 5 － S 4 的值为 ______. 解析　 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 － 2 ，解得 a 1 ＝ 2. 因为 S n ＝ 2 a n － 2 ， 当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 － 2 ， 两式相减得 a n ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ， 则数列 { a n } 为首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， 则 S 5 － S 4 ＝ a 5 ＝ 2 5 ＝ 32 . 答案 解析 32 解析　 因为 A ∩ B ＝ B ，所以 B ⊆ A . 若 B 为 ∅ ，则 m ＝ 0 ； 综上， m ∈ {0 ，－ 1,2}. 答案 解析 {0 ，－ 1,2} 答案 解析 解析　 f (1) ＝ e 0 ＝ 1 ，即 f (1) ＝ 1. 由 f (1) ＋ f ( a ) ＝ 2 ，得 f ( a ) ＝ 1. 当 a ≥ 0 时， f ( a ) ＝ 1 ＝ e a － 1 ，所以 a ＝ 1. 当－ 1< a <0 时， f ( a ) ＝ sin(π a 2 ) ＝ 1 ， 二、图形位置、形状分类整合 图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系 . 5. 已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的 体积 为 _____________. 答案 解析 答案 解析 只有当直线 y ＝ kx ＋ 1 与直线 x ＝ 0 或 y ＝ 2 x 垂直时才满足 . 7. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F 1 ， F 2 ，若曲线 C 上存在点 P 满足 PF 1 ∶ F 1 F 2 ∶ PF 2 ＝ 4 ∶ 3 ∶ 2 ，则曲线 C 的离心率为 ________. 解析　 不妨设 PF 1 ＝ 4 t ， F 1 F 2 ＝ 3 t ， PF 2 ＝ 2 t ，其中 t >0. 若该曲线为椭圆，则有 PF 1 ＋ PF 2 ＝ 6 t ＝ 2 a ， 若该曲线为双曲线，则有 PF 1 － PF 2 ＝ 2 t ＝ 2 a ， 答案 解析 8. 抛物线 y 2 ＝ 4 px ( p >0) 的焦点为 F ， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若 △ OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为 ________. 4 答案 解析 解析　 当 PO ＝ PF 时，点 P 在线段 OF 的中垂线上， 此时，点 P 的位置有两个； 当 OP ＝ OF 时，点 P 的位置也有两个； 对 FO ＝ FP 的情形，点 P 不存在 . 事实上， F ( p ， 0) ， 又 ∵ y 2 ＝ 4 px ， ∴ x 2 ＋ 2 px ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2 p ， 当 x ＝ 0 时，不构成三角形 . 当 x ＝－ 2 p ( p >0) 时，与点 P 在抛物线上矛盾 . ∴ 符合要求的点 P 有 4 个 . 三、含参问题分类整合 某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等 . 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全 . 答案 解析 解析　 因为 m 是 2 和 8 的等比中项， 所以 m 2 ＝ 2 × 8 ＝ 16 ，所以 m ＝ ±4 ， 10. 若函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2) ，则实数 a 的取值范围为 ________ _ ____. 解析　 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 4 x － 3 在 [ 0,2 ] 上为增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . 当 a >0 时， f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [ 0,2 ] 上为增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [ 0,2 ] 上为增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . 综上，当 a ≥ － 1 时，函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [ 0,2 ] 上有最大值 f (2 ). 答案 解析 [ － 1 ，＋ ∞ ) 11. 设函数 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ a ＋ 3 ， g ( x ) ＝ ax － 2 a ，若存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 )<0 和 g ( x 0 )<0 同时成立，则实数 a 的取值范围为 ________ _ __. 答案 解析 (7 ，＋ ∞ ) 解析　 由 f ( x ) ＝ x 2 － ax ＋ a ＋ 3 知， f (0) ＝ a ＋ 3 ， f (1) ＝ 4. 又存在 x 0 ∈ R ，使得 f ( x 0 )<0 ， 所以 Δ ＝ a 2 － 4( a ＋ 3)>0 ，解得 a < － 2 或 a >6. 又 g ( x ) ＝ ax － 2 a 的图象恒过点 (2,0) ， 故当 a >6 时，作出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象如图 1 所示， 当 a < － 2 时，作出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象如图 2 所示 . 由函数的图象知，当 a >6 时，若 g ( x 0 )<0 ，则 x 0 <2 ， 当 a < － 2 时，若 g ( x 0 )<0 ，则 x 0 >2 ， 又 f (1) ＝ 4 ， ∴ f ( x 0 )<0 不成立 . 综上，实数 a 的取值范围为 (7 ，＋ ∞ ). 答案 解析 － 21 又 a n ≠ 0 ，所以 a n ＝ 2 n － 1 ， 则 a n ＋ 1 ＝ 2 n ＋ 1 ， 当 n ＝ 2 k ， k ＝ 1,2,3 ， … 时， 当 n ＝ 2 k － 1 ， k ＝ 1,2,3 ， … 时， 当且仅当 k ＝ 1 时，等号成立，所以 λ ≤ － 21. 综上 λ ≤ － 21. 转化与化归思想 一、特殊与一般的转化 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路 . 1. 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 ax ＋ 4(0< a <3) ，若 m < n ，且 m ＋ n ＝ a － 1 ，则 f ( m )________ f ( n ).( 填 “ > ”“ ＝ ”“ < ” ) 解析　 由题设可令 a ＝ 2 ， m ＝ 0 ， n ＝ 1 ， 得 f ( x ) ＝ 2 x 2 ＋ 4 x ＋ 4 ， 则 f (0) ＝ 4 ， f (1) ＝ 10 ， 所以 f ( m )< f ( n ). 答案 解析 < 答案 解析 4 a 答案 解析 1 解析　 既然三角形为任意的，设 △ ABC 为直角三角形， ∠ C ＝ 90°. 答案 解析 二、命题的等价转化 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决 . 一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化 . 5. 由命题 “ 存在 x ∈ R ，使 e | x － 1| － m ≤ 0 ” 是假命题，得 m 的取值范围是 ( － ∞ ， a ) ，则实数 a 的值是 ________. 解析　 命题 “ ∃ x ∈ R ，使 e | x － 1| － m ≤ 0 ” 是假命题 ， 可知 它的否定形式 “ ∀ x ∈ R ， e | x － 1| － m >0 ” 是真命题 ， 可 得 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 1) ， 而 ( － ∞ ， a ) 与 ( － ∞ ， 1) 为同一区间，故 a ＝ 1 . 答案 解析 1 答案 解析 160 解析　 因为三棱锥 P － ABC 的三组对棱两两相等， 则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中 ( 如图所示 ) ， 把三棱锥 P － ABC 补成一个长方体 AEBG － FPDC ， 可知三棱锥 P － ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线 . 不妨令 PE ＝ x ， EB ＝ y ， EA ＝ z ， 从而知 V P － ABC ＝ V AEBG － FPDC － V P － AEB － V C － ABG － V B － PDC － V A － FPC 7. 对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的所有实数 p ，使不等式 x 2 ＋ px >4 x ＋ p － 3 成立的 x 的取值范围是 _____________________ _ _. 解析　 设 f ( p ) ＝ ( x － 1) p ＋ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 则当 x ＝ 1 时， f ( p ) ＝ 0 ，所以 x ≠ 1. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) 从图中可知，当过 P 的直线与圆相切时斜率取最值， 此时对应的直线斜率分别为 k PB 和 k PA ，其中 k PB 不存在 . 答案 解析 三、 函数、方程、不等式之间的转化 函数、方程与不等式就像 “ 一胞三兄弟 ” ，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作 . 即 a > － x 2 ＋ 3 x 在 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 又当 x ＝ 2 时， ( － x 2 ＋ 3 x ) max ＝ 2 ， 所以 a >2. (2 ，＋ ∞ ) 答案 解析 答案 解析 解析　 方法一　因为点 P 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 50 上， 因为 A ( － 12,0) ， B (0,6) ， 方法二　设 P ( x ， y ) ， ∴ ( － 12 － x )·( － x ) ＋ ( － y )·(6 － y ) ≤ 20 ，即 2 x － y ＋ 5 ≤ 0. 如图，作圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 50 ，直线 2 x － y ＋ 5 ＝ 0 与 ⊙ O 交于 E ， F 两点， ∵ P 在圆 O 上且满足 2 x － y ＋ 5 ≤ 0 ， ∴ 点 P 在 上 . 11. 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax － 1 ， g ( x ) ＝ f ′ ( x ) － ax － 5 ，其中 f ′ ( x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对满足－ 1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值，都有 g ( x )<0 ，则实数 x 的取值范围 为 _____ _ ___. 解析　 由题意知， g ( x ) ＝ 3 x 2 － ax ＋ 3 a － 5 ， 令 φ ( a ) ＝ (3 － x ) a ＋ 3 x 2 － 5( － 1 ≤ a ≤ 1). 对－ 1 ≤ a ≤ 1 ，恒有 g ( x )<0 ，即 φ ( a )<0 ， 答案 解析 答案 解析 ( － ∞ ，－ e 2 ] 所以 g ( x ) min ＝ g (e 2 ) ＝ 2 － e 2 ， 所以 a ≤ 2 － e 2 . 综上知 a ≤ － e 2 . 数学素养专练 1. 若数列 { a n } 满足 a n ＝ 3 a n － 1 ＋ 2( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ， a 1 ＝ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ _____________. 解析　 设 a n ＋ λ ＝ 3( a n － 1 ＋ λ ) ，化简得 a n ＝ 3 a n － 1 ＋ 2 λ ， ∵ a n ＝ 3 a n － 1 ＋ 2 ， ∴ λ ＝ 1 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ 3( a n － 1 ＋ 1). ∵ a 1 ＝ 1 ， ∴ a 1 ＋ 1 ＝ 2 ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 × 3 n － 1 ， ∴ a n ＝ 2 × 3 n － 1 － 1 . 2 × 3 n － 1 － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 令 f ( a ) ＝ t ，则 f ( t ) ＝ 2 t ，当 t <1 时， 3 t － 1 ＝ 2 t ， 令 g ( t ) ＝ 3 t － 1 － 2 t ，得 g ′ ( t )>0 ， ∴ g ( t )< g (1) ＝ 0 ， ∴ 3 t － 1 ＝ 2 t 无解 . 当 t ≥ 1 时， 2 t ＝ 2 t 成立，由 f ( a ) ≥ 1 可知， 当 a ≥ 1 时，有 2 a ≥ 1 ， ∴ a ≥ 0 ， ∴ a ≥ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 已知函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b ( a >0 ， a ≠ 1) 的定义域和值域都是 [ － 1,0 ] ，则 a ＋ b ＝ ________. 解析　 当 a >1 时，函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b 在 [ － 1,0 ] 上为增函数， 当 0< a <1 时，函数 f ( x ) ＝ a x ＋ b 在 [ － 1,0 ] 上为减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 5. 已知 ⊙ M 的圆心在第一象限，过原点 O 被 x 轴截得的弦长为 6 ，且与直线 3 x ＋ y ＝ 0 相切，则圆 M 的标准方程为 ____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 10 解析　 设 ⊙ M 的方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， r ＞ 0) ， 故 ⊙ M 的标准方程为 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 10. 6. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 1 ＝ 1 ， a 2 n ＝ n － a n ， a 2 n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 ，则 S 100 ＝ ________.( 用数字作答 ) 1 306 解析　 由题设可得 a 2 n ＋ a 2 n ＋ 1 ＝ n ＋ 1 ，取 n ＝ 1,2,3 ， … ， 49 ， 可得 a 2 ＋ a 3 ＝ 2 ， a 4 ＋ a 5 ＝ 3 ， a 6 ＋ a 7 ＝ 4 ， … ， a 98 ＋ a 99 ＝ 50 ， 将以上 49 个等式两边分别相加， 又 a 3 ＝ a 1 ＋ 1 ＝ 2 ， a 6 ＝ 3 － a 3 ＝ 1 ， a 12 ＝ 6 － a 6 ＝ 5 ， a 25 ＝ a 12 ＋ 1 ＝ 6 ， a 50 ＝ 25 － a 25 ＝ 19 ， a 100 ＝ 50 － a 50 ＝ 31 ， 所以 S 100 ＝ 1 ＋ 1 274 ＋ 31 ＝ 1 306. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所表示的可行域，如图阴影部分所示 ( 包括边界 ) ， 其中 A (2,1) ， B (1,2) ， 根据 t 的几何意义可知， t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连结 OA ， OB ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 若 m ≤ 0 ，那么 f ( x ) － f ( － x ) ＝ 0 只可能有 2 个根，所以 m ＞ 0 ， 若 f ( x ) ＝ f ( － x ) 有四个实根，根据对称性可知当 x ＞ 0 时， 设 y ＝ x ln x ，则 y ′ ＝ ln x ＋ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知函数 f ( x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x 的定义域为 [ － 3,3 ] ，则不等式 f ( x 2 ＋ 1 ) > f ( － 2) 的解集为 _________________ _ _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 因为 f ( － x ) ＝－ x (e － x － e x ) － cos( － x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x ＝ f ( x ) ， 所以函数 f ( x ) 为偶函数， 令 h ( x ) ＝－ cos x ，易知 h ( x ) 在 [ 0,3 ] 上为增函数， 故函数 f ( x ) ＝ x (e x － e － x ) － cos x 在 [ 0,3 ] 上为增函数， 所以 f ( x 2 ＋ 1)> f ( － 2) 可变形为 f ( x 2 ＋ 1)> f (2) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 若 ∠ PF 2 F 1 ＝ 90° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 当点 P 在短轴端点时， ∠ F 1 PF 2 达到最大值 ， 即 ∠ F 1 BF 2 ≥ 120° 时 ， 椭圆 上存在点 P 使得 ∠ F 1 PF 2 ＝ 120° ， 而椭圆越扁， ∠ F 1 BF 2 才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 在平面直角坐标系中作出函数 y ＝ f ( x ) 的图象，如图 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com