2018-2019学年福建省长泰县第一中学高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版 19页

绝密★启用前 福建省长泰县第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，若，则＝(　 　)‎ A．或 B．或 C．或 D．或或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 或。故选C。‎ 点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合。2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解。3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。‎ ‎2．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ,对应的点为 ,在第四象限,选D.‎ ‎3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，直角三角形的斜边长为，‎ 设内切圆的半径为，则，解得.‎ 所以内切圆的面积为，‎ 所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误。‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布, 且, 则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出，由正态密度曲线的对称性得出 ‎，于是得出可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可知，，‎ 由于，所以，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题。‎ ‎5．“”是“函数为奇函数”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 时， ，当 时， ，函数为奇函数；当 时，，函数不是奇函数时， 不一定奇函数，当是奇函数时，由可得，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.‎ ‎6．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以 ‎，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．‎ ‎7．奇函数的定义域为.若为偶函数，且，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 是偶函数， 关于对称， 是奇函数 。故选B。‎ ‎8．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．‎ ‎【详解】‎ 详解：‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。‎ ‎9．函数在的图像大致为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎10．将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）‎ A．18种 B．36种 C．48种 D．60种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当甲一人住一个寝室时有：种，当甲和另一人住一起时有：，所以有种.‎ 考点：排列组合.‎ ‎11．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.‎ ‎12．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而求出结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则.‎ ‎，，是减函数，则有，，即 ‎，所以.选.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数图象的变换可知，的图象过定点，的图象过定点，的图象过定点，‎ 所以，的图象过定点．‎ 考点：指数函数的图象，函数图象的平移、伸缩变换．‎ ‎14． 展开式中，项的系数为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎∴二项式展开式中，含项为 ‎ ‎∴它的系数为70．‎ 故答案为70．‎ ‎15．设随机变量ξ服从二项分布 ，则等于__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用独立重复试验的概率计算出、、、，再将这些相加可得出.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，，，‎ ‎，，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎16．若为上的奇函数，且满足，对于下列命题：①；②是以4为周期的周期函数；③的图像关于对称；④.其中正确命题的序号为_________‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结合题中等式可判断命题①的正误；根据题中等式推出来判断出命题②的正误；由函数为奇函数来判断命题③的正误；在题中等式中用替换可判断出命题④的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于命题①，由于函数是上的奇函数，则，在等式中，令可得，得，命题①正确；‎ 对于命题②，，所以，是以为周期的周期函数，命题④正确；‎ 对于命题③，由于函数是上的奇函数，不关于直线（即轴）对称，命题③错误；‎ 对于命题④，由，可得，即，‎ 由于函数是上的奇函数，则，命题④正确.‎ 故答案为：①②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、对称性以及周期性的推导，求解时充分利用题中的等式以及奇偶性、对称性以及周期性的定义式，不断进行赋值进行推导，考查推理能力，属于中等题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离．‎ ‎(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；‎ ‎(Ⅱ)若曲线与直线相交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据抛物线的定义得知点的轨迹为抛物线，确定抛物线的焦点和准线，于此得出抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点、，将直线与曲线的方程联立，利用抛物线的定义求出，并利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式计算出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为；‎ ‎（Ⅱ）设, 联立，得 , , ‎ 直线经过抛物线的焦点, ‎ 点到直线的距离，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、以及直线与抛物线中的三角形面积的计算，考查韦达定理设而不求思想的应用，解题关键在于利用相关公式计算弦长与距离，这类问题计算量较大，对计算要求较高，属于中等题。‎ ‎18．已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.‎ ‎（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将代入不等式，并解出命题中的不等式，同时求出当命题为真命题时实数的取值范围，由条件为真命题，可知这两个命题都是真命题，然后将两个范围取交集可得出实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）解出命题中的不等式，由是的必要不充分条件，得出命题中实数的取值范围是命题中不等式解集的真子集，然后列不等式组可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由 得， ‎ 若，为真时实数t的取值范围是.‎ 由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.‎ 若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是 ‎ ‎（Ⅱ）设， ‎ 是的必要不充分条件，. ‎ 当时，，有，解得； ‎ 当时，，显然，不合题意． ‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）问考查复合命题的真假与参数，第（2）问考查充分必要性与参数，一般要结合两条件之间的关系转化为集合间的包含关系，考查转化与化归数学思想，属于中等题。‎ ‎19．‎ ‎ ‎ 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.‎ ‎（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A)；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列及期望 ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2‎ ‎=240（元）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎（I）由A表示事件：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，‎ 知表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.‎ ‎,‎ ‎；‎ ‎（II）η的可能取值为200元，250元，300元.‎ ‎ P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，‎ ‎ P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，‎ ‎ P（η=300）=1－P（η=200）－P（η=250）=1－0.4－0.4=0.2.‎ ‎∴η的分布列为 ‎ η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴Eη＝200×0.4+250×0.4+300×0.2＝240（元）．‎ ‎20．如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且．‎ ‎(Ⅰ)求证：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知条件得知，再利用勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面的判定定理可证明出结论；‎ ‎（Ⅱ）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算异面直线和所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）设，将向量的坐标用实数表示，求出平面 的一个法向量，由题中条件得求出的值，于此可求出的长度。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ） 在中，.‎ 四边形是平行四边形，‎ 又，‎ ‎ ‎ 又 平面又平面，‎ 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）如图，过作的垂线，以点为原点建立空间直角坐标系,则 ‎ ‎,从而 ‎ ‎, ‎ ‎ 异面直线与所成角的余弦值等于.；‎ ‎（Ⅲ）.‎ 设则 ‎ 取平面的一个法向量为， ‎ 记与平面所成的角为，则，‎ ‎ ，解得，即 ‎【点睛】‎ 本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成的角以及直线与平面所成角的探索性问题，在求解空间角时，一般利用空间向量来进行求解，解题时注意将空间角转化为相应向量的夹角来计算，属于中等题。‎ ‎21．设函数．‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)当时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．，（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值；‎ ‎（Ⅱ）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可；‎ ‎（Ⅲ）将代入函数的解析式，利用导数研究该函数在区间上的单调性，将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）．‎ 令，得x＝a或x＝3a.‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，a)‎ a ‎(a,3a)‎ ‎3a ‎(3a，＋∞)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗ 极大 ‎↘ ‎∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．‎ 当时，取得极小值，；‎ 当时，取得极大值，；‎ ‎（Ⅱ），其对称轴为.‎ 因为，所以.‎ 所以在区间上是减函数．‎ 当时，取得最大值，；‎ 当时，取得最小值，.‎ 于是有即.又因为，所以. ‎ ‎（Ⅲ）当时，.‎ ‎，由，即，‎ 解得，即在上是减函数，‎ 在上是增函数，在上是减函数．‎ 要使在[1,3]上恒有两个相异实根，即在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，‎ 于是有即解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数求解函数不等式恒成立以及利用导数研究函数的零点，解题时注意这些问题的等价转化，在处理零点问题时，可充分利用图象来理解，考查化归与转化、数形结合的数学思想，属于中等题。‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.‎ ‎（Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）17‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）将 转化为普通方程，解方程组可得 的坐标；（2） 为圆，当有一个公共点时，可求得参数 的值，联立的普通方程，利用根与系数的关系可得的值。‎ 解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程. ‎ 由曲线可得直角坐标方程：. ‎ 由得， ‎ ‎（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：‎ ‎，圆的圆心半径为， ‎ 曲线与有且只有一个公共点，，即， ‎ 设 联立得 ‎ ‎4x1x2﹣4（x1+x2）+4‎ ‎＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝17．.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知 ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；‎ ‎（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，原不等式可化为；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然成立，‎ 此时解集为；‎ 当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；‎ 当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；‎ 综上，原不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，因为，所以由可得，‎ 即，显然恒成立；所以满足题意；‎ 当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.‎