2017-2018学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版） 9页

黄山市2017～2018学年度第一学期期末质量检测 高二（理科）数学试题 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1. 抛物线的焦点坐标为 A. B. C. D.‎ ‎2. 下列命题中错误的是 A.如果，那么内一定存在直线平行于平面；‎ B.如果，那么内所有直线都垂直于平面；‎ C.如果平面不垂直平面，那么内一定不存在直线垂直于平面；‎ D.如果,那么.‎ ‎3. 过点，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是 A． B． C． D．‎ ‎4. 已知命题：是直线与直线垂直的充要条件；‎ 命题：是成立的充分非必要条件．则下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知长方体中，,,为中点，则异面直线 与所成的角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知点是圆上任意一点，则的取值范围是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎8．双曲线的左、右焦点分别是，过作斜率是的直线交 双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎9. 空间四边形中，点是边的中点，点为边上的点，且．若，，，则等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎10.设、在同一坐标系下的图象大致是 A B C D ‎11.已知球面上的三个点，且，球的半径为，则球心到平面的距离等于 ‎ A． B． C．1 D．‎ ‎12.已知是定义在上恒不为零的单调递减函数. 对任意，都有 ‎，集合，，若 ‎，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13.命题“在△中，若，则∠、∠都是锐角”的否命题是_____________ . ‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该 第14题图 几何体的表面积为_________.‎ ‎15.椭圆的左、右顶点分别为，点在 上,且直线斜率的取值范围是，那么直线 斜率的取值范围是___________.‎ ‎16.方程表示曲线，‎ 给出以下命题：‎ ① 曲线不可能为圆；‎ ② 若曲线为双曲线，则或；‎ ③ 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则；‎ ④ 曲线可能为抛物线.‎ 其中正确命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）．‎ 三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎ 已知命题“对任意”.命题“存在”. 若为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知正方形的中心为点,边所在的直线方程为.‎ ‎（1）求边所在的直线方程和正方形外接圆的方程；‎ ‎（2）若动圆过点,且与正方形外接圆外切,求动圆圆心的轨迹方程.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在正方体中，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中,平面△为等边三角形，是上的点，且.‎ ‎（1）求和平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使平面？说明理由. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上一点到焦点的距离，倾斜角 为的直线经过焦点，且与抛物线交于、两点.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程及准线的方程；‎ A ‎（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知曲线 所围成封闭图形面积为,曲线是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆, 离心率为. 平面上的动点为椭圆外一点,且过点 引椭圆的两条切线互相垂直.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）求动点的轨迹方程.‎ v黄山市2017～2018学年度第一学期期末质量检测 高二（理科）数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） ‎ ‎1—6：B B D A C C 7—12：C B D B B A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) ‎ ‎13.在△ABC中，若∠C≠900，则∠A、∠B不都是锐角. 14. ‎ ‎15． 16．②③‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解: (1) 由题意即求， . …………4分 ‎：由题意. …………8分 由为真命题， ∴. ………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 解: (1)由题意得,边所在的直线方程可设为，到直线的距离为. 到直线的距离，易得.‎ 所以直线方程为 . ………………………………3分 正方形ABCD外接圆圆心, 圆的方程可设为 又因为，得 . …………………7分 ‎(2)由题意得， ……………………………9分 所以点的轨迹是以为焦点，的双曲线左支. …………10分 即轨迹方程为： . ………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ z x y 解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，. ‎ 所以，，，‎ 设是平面的一个法向量，则，‎ ‎，所以 ‎，令，得，，所以…4分 ‎ 故，所以.‎ 又平面，因此平面. …………………7分 ‎（2）平面的一个法向量，平面的一个法向量.……9分 ‎ 所以.‎ 因此，二面角余弦值为. ……………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：取AD中点H，PD=PA, 所以,因为AB平面PAD，且PH平面PAD ， ‎ 所以，又,所以平面.‎ ‎∠PCH是PC和平面ABCD所成的角. ………3分 不妨令AB=2 ，CH= ‎ 在△ ………6分 ‎（2）解：线段上存在点，使平面. ……8分 ‎ 理由如下：如图，分别取的中点G、Ｅ，则， 由 ， 所以，所以四边形为平行四边形，故.‎ 因为AB平面PAD，所以，因此，，因为为的中点，且，，因此.‎ 又，所以平面. ……………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（1）解： ∴在抛物线上，∴‎ ‎，得抛物线的标准方程为,从而所求准线l的方程为. ……4分 A E ‎（2）解：设，，直线AB的斜率为 ‎，则直线AB方程为.‎ 将此式代入,得，‎ 故.‎ 记直线m与AB的交点为，则，， 故直线m的方程为. ……………………………………8分 令y=0,得P的横坐标，‎ 故. …………………………………………10分 故. ………12分 ‎22. （本小题满分12分）‎ ‎（1）解:因为所围成封闭图形面积 ………2分 ‎ 椭圆的离心率为，所以，解得， 得 故椭圆的方程为． …………………………6分 ‎（2）设,当两切线的斜率存在且不为时，设的方程为，‎ 联立直线和椭圆的方程，得，消去并整理，得:‎ ‎ ………………8分 因为直线和椭圆有且仅有一个交点，‎ ‎， ‎ 化简并整理，得．＊ …………………9分 同理直线的斜率满足方程＊,又因为两切线垂直，所以两切线斜率之积.， ． ① …………………11分 当切线的斜率为时, 的斜率不存在，此时，符合①式． ‎ 综上所述，点的轨迹方程为． ………………………12分