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- 2021-04-12 发布
2018年高三年级学业水平能力第一次诊断测试
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
4.若变量满足约束条件，则的最大值是( )
A.0 B.2 C.5 D.6
5.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.4
6.函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )
A.4097 B.9217 C.9729 D.20481
8.甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.已知函数(其中为常数，且，，)的部分图象如图所示，若，则的值为( )
A. B. C. D.
10.过球面上一点作球的互相垂直的三条弦，已知，，则球的半径为( )
A.1 B. C. D.
11.已知抛物线与圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点，则下列关于的值的说法中，正确的是( )
A.等于1 B.等于16 C.最小值为4 D.最大值为4
12.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.四名学生按任意次序站成一排，则或在边上的概率为 .
14.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为 .
15.在中，，，是的外心，若，则 .
16.设正项等比数列的前项和为，则以，，为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角所对的边分别是，且.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
18.在直三棱柱中，，，是棱的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
19.“双十一”已经成为民们的购狂欢节，某电子商务平台对某市的民在今年“双十一”的购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额(百元
)的频率分布直方图如图所示：
(1)求民消费金额的平均值和中位数；
(2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为购消费与性别有关；
男
女
合计
30
合计
45
附表：
.
20.椭圆的右焦点是，，，点是平行四边形的一个顶点，轴.
(1)求椭圆的离心率；
(2)过作直线交椭圆于两点，，求直线的斜率.
21.已知函数.
(1)证明：当，时，；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求的取值范围.
22.已知曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是：.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)是上的点，是上的点，求的最小值.
23.已知函数.
(1)当，时，求不等式的解集；
(2)若，，的最小值为1，求的最小值.
2018年高三年级学业水平能力第一次诊断测验
文科数学答案
一、选择题
1-5:DDCCB 6-10:ABCBD 11、12：AD
二、填空题
13. 14.或 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)∵，由正弦定理得，∴.
(2)由，得，∴，
∴.
18.解：(1)取中点，联结，，，
∵是直三棱柱，∴，，
又∵是的中点，，∴，又∵，
∴，，∴面，∴；
(2)，设到平面的距离为，则，
由已知得，∴，∴.
19.(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则民消费金额的平均值
，
直方图中第一组，第二组的频率之和为，
∴的中位数.
(2)
男
女
25
25
50
20
30
50
45
55
100
.
没有的把握认为购消费与性别有关.
20.(1)∵四边形是平行四边形，∴且，
又∵轴，∴，∴，则.
(2)由(1)得，∴，∴椭圆方程为，
设直线，代入椭圆方程，得：，
设，，则，，
由于，，∴，，
根据题意得，且，代入点坐标得：
，即
，
化简得，解得或.
21.(1)，，，
∵，∴，∴在定义域内单调递增，∴，
∴在定义域内单调递增，∴；
(2)设，即有两个零点，，
若，，得单调递减，∴至多有一个零点，
若，，得，，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，即，∴，此时，即，
当时，，∴在上必有一个零点，
由(1)知当时，，即，
而，得，∴，故在上必有一个零点，
综上，时，关于的方程有两个不相等的实根.
22.(1)曲线的直角坐标方程为，即；
(2)设与同圆心的圆的方程为，联立，
得，当时，即时圆与椭圆相切，
∴.
23.(1)当时，，
，即，∴的解集为；
(2)当，时，，，
根据图象当时，，即，∴，
∴