人教A版数学必修二1-3-2球的体积和表面积 8页

§1.3.2 球的体积和表面积 一、教材分析 本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放 在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.（不要求记忆公式） （2）熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系. （3）培养学生空间想象能力和思维能力. 2．过程与方法 （1）让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系. （2）通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算. 3．情感、态度与价值观 通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识. 三、重点难点 教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 四、课时安排 约 1课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮 食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年 9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又 是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积 11 380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化 学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？ 思路 2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与 体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表 面积. （二）推进新课、新知探究 球的半径为 R，它的体积和表面积只与半径 R有关，是以 R为自变量的函数.事实上，如果球的半径 为 R，那么 S=4πR2,V= 3 3 4 R . 注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. （三）应用示例 思路 1 例 1 如图 1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证： 图 1 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 2 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R. 则有 V 球= 3 3 4 R ，V 圆柱=πR2·2R=2πR3，所以 V 球= 圆柱V 3 2 . （2）因为 S 球=4πR2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以 S 球=S 圆柱侧. 点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构 特征. 变式训练 1.如图 2(1)所示，表面积为 324π的球，其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积. 图 2 解：设球的半径为 R，正四棱柱底面边长为 a,则轴截面如图 2（2），所以 AA′=14,AC= a2 ,又∵4πR2=324 π,∴R=9. ∴AC= 28'' 22 CCAC .∴a=8. ∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为 576. 2有一种空心钢球，质量为 142 g,测得外径（直径）等于 5 cm，求它的内径（钢的密度为 7.9 g/cm3，精确 到 0.1 cm）. 解：设空心球内径（直径）为 2x cm,则钢球质量为 7.9·［ 33 3 4) 2 5( 3 4 x  ］=142, ∴x3= 14.349.7 3142) 2 5( 3    ≈11.3,∴x≈2.24,∴直径 2x≈4.5. 答：空心钢球的内径约为 4.5 cm. 例 2 如图 3 所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为 1 m、高为 3 m的圆柱形物体， 上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花 150 朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取 3.1）? 图 3 活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵 鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积. 解：圆柱形物体的侧面面积 S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物体的表面积为 S2≈2×3.1×( 2 1 )2≈1.6(m2), 所以 S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2). 10.9×150≈1 635(朵). 答：装饰这个花柱大约需要 1 635朵鲜花. 点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为 R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容 器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？ 分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图 4所示， 图 4 圆锥底面半径 r= RR 3 30tan   , 圆锥母线 l=2r= R32 ，圆锥高为 h= r3 =3R， ∴V 水= 33 4 3 32   Rhr ·3R2·3R 33 3 5 3 4 RR   ， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径 r= R3 ,设上底面半径为 r′， 则高 h′=(r-r′)tan60°= )'3(3 rR  , ∴ ' 33 5 3 hR   (r2+r′2+rr′),∴5R3= )3'3')('3(3 22 RRrrrR  , ∴5R3= )'33(3 33 rR  ， 解得 r′= 63 3 16 3 4 RR  , ∴h′=( 3 123 )R. 答：容器中水的高度为( 3 123 )R. 思路 2 例 1 （2006广东高考，12）若棱长为 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________. 活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径 R= 2 33 ，则该球的表面积 为 S=4πR2=27π. 答案：27π 点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径 R的函数.对于和球有关 的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练 1.（2006全国高考卷Ⅰ，理 7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球 的表面积是（ ） A.16π B.20π C.24π D.32π 分析：由 V=Sh，得 S=4，得正四棱柱底面边长为 2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为 球的直径，所以，球的半径为 R= 6422 2 1 222  ，所以球的表面积为 S=4πR2=24π. 答案：C 2.（2005湖南数学竞赛，13）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则这个球的体 积为_____________. 分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为 a 2 2 ，于是球的半径为 a 4 2 ， V= 3 24 2 a . 答案： 3 24 2 a 3.（2007天津高考，理 12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为___________. 分析：长方体的对角线为 14321 222  ，则球的半径为 2 14 ,则球的表面积为 4π( 2 14 )2=14 π. 答案：14π 例 2 图 5是一个底面直径为 20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高 为 20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？ 图 5 活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以 铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为 20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 解：因为圆锥形铅锤的体积为 2) 2 6( 3 1  ×20=60π（cm3）， 设水面下降的高度为 x，则小圆柱的体积为 x2) 2 20( =100πx（ cm3）. 所以有 60π=100πx，解此方程得 x=0.6（ cm）. 答：杯里的水下降了 0.6 cm. 点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应 的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体 积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练 1.一个空心钢球，外直径为 12 cm，壁厚 0.2 cm，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为 7.9 g/cm3）和它 一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为 11.4 g/cm3） 分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的 体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的 质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没. 解：空心钢球的体积为 V 钢= 3 48.5 3 46 3 4 33   ×20.888≈87.45(cm3)， ∴钢的质量为 m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为 V 水= 3 4 ×63=904.32(cm3)， ∴水的质量为 m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢. ∴钢球能浮起来，而铅球的质量为 m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没. 答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没. 2.（2006全国高中数学联赛试题第一试，10）底面半径为 1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 2 1 cm的实 心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需 要注水___________cm3. 分析：设四个实心铁球的球心为 O1、O2、O3、O4，其中 O1、O2为下层两球的球心，A、B、C、D分 别为四个球心在底面的射影，则 ABCD 是一个边长为 2 2 cm的正方形，所以注水高为(1+ 2 2 ) cm.故应 注水π(1+ 2 2 )-4× ) 2 2 3 1() 2 1( 3 4 3   π cm3. 答案：（ 3 1 + 2 2 ）π （四）知能训练 1.三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C. 5 9 倍 D. 4 7 倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的 4 倍，可设最小的一个半径为 r，则另两个为 2r、3r，所以 各球的表面积分别为 4πr2、16πr2、36πr2， 5 9 164 36 22 2   rr r   （倍）. 答案：C 2.（2006安徽高考，理 9）表面积为 32 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A. 3 2 B. 3  C. 3 2 D. 3 22  分析：此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由 8× 32 4 3 2  a 知，a=1，则此球的直 径为 2 . 答案：A 3.（2007北京西城抽样，文 11）若与球心距离为 4的平面截球所得的截面圆的面积是 9π，则球的表面积 是____________. 分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题 意得截面圆的半径是 3，则球的半径为 22 34  =5，所以球的表面积是 4π×52=100π. 答案：100π 4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9 g/cm3 ）,每个钢球重 145 kg,并且外径等于 50 cm,试根据以 上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取 3.14,结果精确到 1 cm）. 解：由于外径为 50 cm的钢球的质量为 7.9× 3) 2 50( 3 4   ≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为 145 000 g,而 145 000＜516 792, 所以钢球是空心的. 设球的内径是 2x cm，那么球的质量为 7.9·［ 33 3 4) 2 50( 3 4 x  ］=145 000, 解得 x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm). 答：钢球是空心的，其内径约为 45 cm. 5.（2007海南高考，文 11）已知三棱锥 S—ABC的各顶点都在一个半径为 r的球面上，球心 O在 AB上， SO⊥底面 ABC，AC= r2 ,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π 分析：由题意得 SO=r为三棱锥的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面积是 2 1 ×2r×r=r2,所以三棱 锥体积是 33 1 3 2 rrr  ，又球的体积为 3 4 3r ，则球的体积与三棱锥体积之比是 4π. 答案：D 点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低， 属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、 正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用. （五）拓展提升 问题：如图 6，在四面体 ABCD中，截面 AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 A—BEFD与三棱锥 A—EFC 的表面积分别是 S1，S2，则必有（ ） 图 6 A.S1＜S2 B.S1＞S2 C.S1=S2 D.S1,S2的大小关系不能确定 探究：如图 7，连 OA、OB、OC、OD，则 VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC ＋VO—AEC＋VO—EFC，又 VA—BEFD=VA—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 S△ABD ＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面 AEF是公共面，故选 C. 图 7 答案：C （五）课堂小结 本节课学习了： 1.球的表面积和体积. 2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积. 3.空间几何体的表面积与体积的规律总结： （1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图 形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手， 将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可 展开. （2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是： 柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高； 锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高； 台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高. 注意球没有高的结构特征. （3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段. （4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章 点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通 常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识. （5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题. （六）作业 课本本节练习 1、2、3.