甘肃省高台县第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 24页

高台县第一中学 2019 年秋学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷 试卷命制： 审题教师： 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）请将答案写在答题卡上. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2．若复数 满足 ，则 （ ） A．5 B． C．25 D． 3.正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，那么 （ ） A． B． C． D． 4．等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 5.过抛物线 的焦点的直线 交抛物线于 、 两点，如果 ，则| |=（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6.在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得∠AOC 与∠BOC 都不小 于 15°的概率为(　　) A.1 4 B．1 3 C.1 2 D．2 3 7.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝1，AA1＝ ，点 O 为长方形 ABCD ABCD E F DC BC EF = 1 1+2 2AB AD  1 1 2 2AB AD− −  1 1 2 2AB AD−  1 1 2 2AB AD− +  { }na n nS q 6 39S S= 5 62S = 1a = 2 2 5 3 2{ | log ( 1) 0}A x x= − < { | 3}B x x= ≤ RC A B∩ = ( ,1)−∞ (2,3) (2,3] ( ,1] [2,3]−∞ ∪ z ( 1) 4 2z i i− = + z = 17 17 xy 42 = l ),( 11 yxP ),(Q 22 yx 621 =+ xx PQ 2 对角线的交点，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AD1 与 OE 所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，外接圆半径为 ，若 ，且 的面积为 ，则 （ ） A. B. C. D. 9.为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动 个单位 C. 向左平行移动 个单位 D. 向右平行移动 个单位 10.在三棱锥 P－ABC 中，点 P，A，B，C 均在球 O 的球面上，且 AB⊥BC，AB＝8，BC ＝6，若此三棱锥体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 A． B． C． D． 11. 已知数列{ }是递增的等差数列，且 ， 是函数 的两个零 点．设数列{ }的前 项和为 ，若不等式 ＞ 对任意正整数 恒成 立，则实数 a 的取值范围为 A．（0， ） B．（0， ） C．（0， ） D．（0，1） 12.已知函数 在 上至少存在两个不同的 满 足 ， 且 函 数 在 上 具 有 单 调 性 ， 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 ABC∆ A B C a b c R 1sin sin sin2b B a A a C− = ABC∆ 22 sin (1 cos2 )R B A− cos B = 1 4 1 3 1 2 3 4 40 5 90π 120π 160π 180π na 2a 3a 65)( 2 +−= xxxf 2 1 n na a ＋ n nT nT ( )1 log 13 a a− n 1 4 1 3 1 2 )2,0)(sin(2)( πϕωϕω <>+= xxf ]3 2,2[ ππ− 21, xx 4)()( 21 =xfxf )(xf ]12,3[ ππ− )0,6( π− π 12 7=x )(xf （ ） A．函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 B．函数 图象关于直线 对称 C．函数 图象关于点 对称 D．函数 在 上是单调递减函数 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 展开式中的常数项为 ． 14．已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的 三角形的面积等于　 　． 15．将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有____________种. 16. 过 抛 物 线 的 焦 点 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 、 两 点 ， 若 ， 为坐标原点，则 _____________. 三、解答题（6 个小题，共 70 分) 17.（12 分）已知数列 是递增的等差数列， ，且 ， ， 成等比 数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和 ，求满足 的最小的 的值. )(xf 4 π )(xf 3 π−=x )(xf )0,12( π− )(xf )2,6( ππ 61(2 )x x − 2: 2 ( 0)C x py p= > F A B 4 | | | |AF BF= O | | | | AF OF = { }na 3 5a = 1a 7 5a a− 3 6a a+ { }na 1 1 2 ( 2)n n n b a a− + = + { }nb n nS 24 25nS > n 18.(12 分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生 平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表： 平均每天锻炼的 时间/分钟 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 20 110 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别 有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体会交 流， ①求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ ②从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为 X， 求 X 的分布列和数学期望． 参考公式：K2 ，其中 n=a+b+c+d．( )( )( )( ) 2( )n ad bc a b c d a c b d −= + + + + 临界值表 P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 19.三棱锥 A-BCD 中，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 BC＝BD＝4，AC＝ 4 2，CD＝4 3，∠ACB＝45°，E，F 分别为 AC，DC 的中点． (1)求证：平面 ABD⊥平面 BCD； (2)求二面角 E-BF-C 的正弦值． 20.(12 分)已知椭圆 ： ，其短轴为 ，离心率为 ，双曲线 （ ， ）的渐近线为 ，离心率为 ，且 . （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两 点，设直线 和 的斜率为 ， ，试判断 是否为定值，若是定值，求出该 定值；若不是定值，请说明理由. E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 4 1e 2 2 1x y m n − = 0m > 0n > y x= ± 2e 1 2 1e e⋅ = E E F (4,0)G 0 E M N FM FN 1k 2k 1 2k k+ 21．（12 分）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，令函数 ，当 时，恒有 ， 求实数 的取值范围． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以 坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程； （2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值． 【选修 4-5：不等式选讲】 23．（10 分）已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范 ( ) ( 1) ( 0)xf x A x e A= + ≠ ( )f x 0A > ( ) ( 1)x kxg x e e k x= + − + 0x ≥ 2( ( )) ( 4 )g f x g x x≥ + A xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t x C 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = C (1,2)M l C P Q 2 2MP MQ+ 21)( ++−= xxxf 03)( ≤−− xxf 22)()( +−= xxfxg x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ 围． 高台县第一中学 2019 年秋学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷 试卷命制： 审题教师： 三、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）请将答案写在答题卡上. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由集合 ，则 或 ， 又 ，所以 . 2．若复数 满足 ，则 （ ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ． 3.正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点，那么 （ ） A． B． C． D． 【答案 C 4．等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B ABCD E F DC BC EF = 1 1+2 2AB AD  1 1 2 2AB AD− −  1 1 2 2AB AD−  1 1 2 2AB AD− +  { }na n nS q 6 39S S= 5 62S = 1a = 2 2 5 3 2{ | log ( 1) 0}A x x= − < { | 3}B x x= ≤ RC A B∩ = ( ,1)−∞ (2,3) (2,3] ( ,1] [2,3]−∞ ∪ 2{ | log ( 1) 0} { |1 2}A x x x x= − < = < < { | 1RC A x x= ≤ 2}x ≥ { | 3}B x x= ≤ ( ,1] [2,3]RC A B∩ = −∞ ∪ z ( 1) 4 2z i i− = + z = 17 17 ( 1) 4 2z i i− = + 4 21 2 4iz ii +− = = − 3 4z i= − 5z = 5.过抛物线 的焦点的直线 交抛物线于 、 两点，如果 ，则| |=（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 6.如图，在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，则使得∠AOC 与∠BOC 都不小于 15°的概率为(　　) A.1 4 B．1 3 C.1 2 D．2 3 解析：在AB上取 C1，C2 两点使∠AOC1＝15°，∠BOC2＝15°，则满足条件 的射线 OC 落在∠C1OC2 内部，∠C1OC2＝60°，则所求概率为60 90 ＝2 3.故选 D. 答案：D 7.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝1，AA1＝ ，点 O 为长方形 ABCD 对角线的交点，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AD1 与 OE 所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° xy 42 = l ),( 11 yxP ),(Q 22 yx 621 =+ xx PQ 2 8.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，外接圆半径为 ，若 ，且 的面积为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵ ，∴由正弦定理得， ①， ∵ 的面积为 ，∴ ， 则 ，代入①得， ， 由余弦定理得， . 9.为得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平行移动 个单位 B. 向右平行移动 个单位 C. 向左平行移动 个单位 D. 向右平行移动 个单位 【答案】D 【详解】由题将函数 可化为 ， 将 的图象转换为 ，该图象向右平移 个单位， 即可得到 的图象． ABC∆ A B C a b c R 1sin sin sin2b B a A a C− = ABC∆ 22 sin (1 cos2 )R B A− cos B = 1 4 1 3 1 2 3 4 1sin sin sin2b B a A a C− = 2 2 1 2b a ac− = ABC∆ 2 22 sin (1 cos2 ) sinR B A a B− = 21 sin sin2 ac B a B= 2c a= 2 22b a= 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 4 4cos a c b a a a acB a + − + −= == 10.在三棱锥 P－ABC 中，点 P，A，B，C 均在球 O 的球面上，且 AB⊥BC，AB＝8，BC ＝6，若此三棱锥体积的最大值为 ，则球 O 的表面积为 A． B． C． D． 12. 已知数列{ }是递增的等差数列，且 ， 是函数 的两个零 点．设数列{ }的前 项和为 ，若不等式 ＞ 对任意正整数 恒成 立，则实数 a 的取值范围为 A．（0， ） B．（0， ） C．（0， ） D．（0，1） 40 5 90π 120π 160π 180π na 2a 3a 65)( 2 +−= xxxf 2 1 n na a ＋ n nT nT ( )1 log 13 a a− n 1 4 1 3 1 2 12.已知函数 在 上至少存在两个不同的 满 足 ， 且 函 数 在 上 具 有 单 调 性 ， 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是 （ ） A．函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 B．函数 图象关于直线 对称 C．函数 图象关于点 对称 D．函数 在 上是单调递减函数 )2,0)(sin(2)( πϕωϕω <>+= xxf ]3 2,2[ ππ− 21, xx 4)()( 21 =xfxf )(xf ]12,3[ ππ− )0,6( π− π 12 7=x )(xf )(xf 4 π )(xf 3 π−=x )(xf )0,12( π− )(xf )2,6( ππ 四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 展开式中的常数项为 240 ． 14．已知 f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则 f(x)在点 P(－1，2)处的切线与坐标轴围成的 三角形的面积等于 【解析】 ∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6， ∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8， 61(2 )x x − 故切线方程为 y－2＝8(x＋1)，即 8x－y＋10＝0， 令 x＝0，得 y＝10，令 y＝0，得 x＝－5 4， ∴所求面积 S＝1 2×5 4×10＝25 4 . 15．将甲、乙等 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法有____________种. 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ①、先将甲、乙等 5 位同学分成 3 组： 若分成 1﹣2﹣2 的三组，有 =15 种分组方法， 若分成 1﹣1﹣3 的三组，有 =10 种分组方法， 则将 5 人分成 3 组，有 15+10=25 种分组方法； ②、将分好的三组对应三所大学，有 A33=6 种情况， 则每所大学至少保送一人的不同保送方法 25×6=150 种； 16. 过 抛 物 线 的 焦 点 的 直 线 交 该 抛 物 线 于 、 两 点 ， 若 ， 为坐标原点，则 _____________. 2: 2 ( 0)C x py p= > F A B 4 | | | |AF BF= O | | | | AF OF = 三、解答题（6 个小题，共 70 分) 17.（12 分）已知数列 是递增的等差数列， ，且 ， ， 成等比 数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和 ，求满足 的最小的 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）设 的公差为 （ ）， { }na 3 5a = 1a 7 5a a− 3 6a a+ { }na 1 1 2 ( 2)n n n b a a− + = + { }nb n nS 24 25nS > n 2 1na n= − 13 { }na d 0d > 由条件得 ，∴ ，∴ . （2） ， ∴ . 由 ，得 .∴满足 的最小的 的值为 . 18.(12 分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三 学生平均每天体育锻炼的时间进行调查，调查结果如下表： 平均每天锻炼的 时间/分钟 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 20 110 合计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与 性别有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体 会交流， 1 2 1 1 2 5 (2 7 ) (2 ) 0 a d a a d d d + =  + =  > 1 1 2 a d =  = 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 1 1 2 1 1 ( 2) 2 1 2 1n n n b a a n n− + = = −+ − + 1 1 1 1 1 1 21 13 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1n nS n n n n = − + − + + − = − =− + + + 2 24 2 1 25 n n >+ n >12 24 25nS > n 13 ①求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ ②从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人数为 X， 求 X 的分布列和数学期望． 参考公式：K2 ，其中 n=a+b+c+d． 临界值表 P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 18. ( )( )( )( ) 2( )n ad bc a b c d a c b d −= + + + + 19.如图，三棱锥 A-BCD 中，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直， 且 BC＝BD＝4，AC＝4 2，CD＝4 3，∠ACB＝45°，E，F 分别 为 AC，DC 的中点．(导学号 55460186) (1)求证：平面 ABD⊥平面 BCD； (2)求二面角 E-BF-C 的正弦值． 练方法　　练规范　　练满分　　练能力 (1)证明：由 BC＝4，AC＝4 2，∠ACB＝45°， 则 AB＝ 42＋（4 2）2－2·4·4 2cos 45°＝4， ∴AC2＝BC2＋AB2，则∠ABC＝90°，AB⊥BC.(2 分) 又平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，AB⊂平面 ABC， ∴AB⊥平面 BCD. 又 AB⊂平面 ABD， 故平面 ABD⊥平面 BCD.(4 分) (2)解： 由 BC＝BD，点 F 为 DC 的中点，知 BF⊥DC. ∵CD＝4 3知 CF＝2 3， 则 sin∠FBC＝2 3 4 ＝ 3 2 ， ∴∠FBC＝60°，则∠DBC＝120°，(6 分) 如图所示，以点 B 为坐标原点，以平面 DBC 内与 BC 垂直的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，以 BA 为 z 轴建立空间直角坐标系． 则 B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(0，4，0)，E(0，2，2)，D(2 3，－2， 0)，F( 3，1，0)，(8 分) ∴BE→ ＝(0，2，2)，BF→ ＝( 3，1，0)， 显然平面 CBF 的一个法向量为 n1＝(0，0，1)， 设平面 BEF 的法向量为 n2＝(x，y，z)， 取 x＝1，得一个法向量 n2＝(1，－ 3， 3)．(10 分) 设二面角 E-BF-C 的大小为 θ， 则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2| ＝ 3 7 ＝ 21 7 . 因此 sinθ＝2 7 7 ，则二面角 E-BF-C 的正弦值为2 7 7 .(12 分) 20.(12 分)已知椭圆 ： ，其短轴为 ，离心率为 ，双曲线 （ ， ）的渐近线为 ，离心率为 ，且 . （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 的右焦点为 ，过点 作斜率不为 的直线交椭圆 于 ， 两 点，设直线 和 的斜率为 ， ，试判断 是否为定值，若是定值，求出该 定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】（1）由题意可知： ， ， ， 双曲线的离心率 ， 则椭圆的离心率为 .椭圆的离心率 ，则 . E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 4 1e 2 2 1x y m n − = 0m > 0n > y x= ± 2e 1 2 1e e⋅ = E E F (4,0)G 0 E M N FM FN 1k 2k 1 2k k+ 2 2 18 4 x y+ = 2 4b = 2b = 1= m n 2 1 2ne m = + = 1 2 2e = 2 1 2 21 2 c be a a = = − = 2 2a = ∴椭圆的标准方程： . （2）设直线 的方程为 . ， 消去 整理得： . 设 ， ，则 ， ， ， 将 ， ， 代入上式得 ，即 . 21．（12 分）已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时，令函数 ，当 时，恒有 ， 求实数 的取值范围． 【解析】（1） ． ①当 时，在 上， ，函数 单调递减；在 上， ， 函数 单调递增； 2 2 18 4 x y+ = MN ( 4)( 0)y k x k= − ≠ 2 2 ( 4) 2 8 y k x x y = −  + = y 2 2 2 2(1 2 ) 16 32 8 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2 2 16 2 1 kx x k + = + 2 1 2 2 32 8 2 1 kx x k −= + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 4) ( 4) 2 2 2 2 y y k x k xk k x x x x − −+ = + = +− − − − 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 4)( 2) ( 4)( 2) 2 6( ) 16 ( 2)( 2) ( 2)( 2) x x x x x x x xk kx x x x − − + − − − + += ⋅ = ⋅− − − − 2 1 2 2 16 2 1 kx x k + = + 2 1 2 2 32 8 2 1 kx x k −= + 1 2 1 22 6( ) 16 0x x x x− + + = 1 2 0k k+ = ( ) ( 1) ( 0)xf x A x e A= + ≠ ( )f x 0A > ( ) ( 1)x kxg x e e k x= + − + 0x ≥ 2( ( )) ( 4 )g f x g x x≥ + A ( ) ( 2)xf x Ae x′ = + 0A > ( , 2)−∞ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( 2, )− +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ②当 时，在 上， ，函数 单调递增；在 上， ， 函数 单调递减． 综上，当 时，递减区间为 ，递增区间为 ；当 时，递增区间 为 ，递减区间为 ． （2） ， ∵ ，∴ ， 当 时，由于 ，所以 ，即 ， 当 时，由于 ，所以 ，即 ， 当 时， ， 综上，当 时，函数 单调递增， 所以由 可得 ，即 ， 等价于 ，即 ， 令 ， ， 则 ， 由 ，且 ，得 ， 当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减． 所以 ， 所以 ，即 的取值范围为 ． 0A < ( , 2)−∞ − ( ) 0f x′ > ( )f x ( 2, )− +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 0A > ( , 2)−∞ − ( 2, )− +∞ 0A < ( , 2)−∞ − ( 2, )− +∞ ( ) 1 ( 1) 1kx x kx xg x ke k e k e e′ = − + − = − + − 0x ≥ 1 0xe − ≥ 0k > 0x ≥ 1 0kxe − ≥ ( ) 0g x′ ≥ 0k < 0x ≥ 1 0kxe − ≤ ( ) 0g x′ ≥ 0k = ( ) 1 0xg x e′ = − ≥ 0x ≥ ( )g x 2( ( )) ( 4 )g f x g x x≥ + 2( ) 4f x x x≥ + 2( 1) 4xA x e x x+ ≥ + 2 4 ( 1)x x xA e x +≥ + 2 max 4( )( 1)x x xA e x +≥ + 2 4( ) ( 1)x x xh x e x += + 0x ≥ 2 2 ( 2)( 2 2)( ) ( 1)x x x xh x e x + + −′ = − + ( ) 0h x′ = 0x ≥ 3 1x = − 0 3 1x< < − ( ) 0h x′ > ( )h x 3 1x > − ( ) 0h x′ < ( )h x 1 3 max( ) ( 3 1) 2h x h e −= − = 1 32A e −≥ A 1 3[2 , )e − +∞ 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22．（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以 坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程； （2）已知 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的最大值． 【答案】见解析． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴ ，即 ． （ 2 ） 将 直 线 的 参 数 方 程 （ 为 参 数 ） 代 入 的 普 通 方 程 ， 得 ， 则 ， ， 所以 ， 所以 ，即 的最大值为 ． 【选修 4-5：不等式选讲】 xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t x C 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = C (1,2)M l C P Q 2 2MP MQ+ 2cos 4sin 0ρ θ θ+ − = 2 2 cos 4 sin 0ρ ρ θ ρ θ+ − = 2 2 2 4 0x y x y+ + − = 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − = l 1 cos , 2 sin x t y t α α = +  = + t C 2 2( 1) ( 2) 5x y+ + − = 2 4cos 1 0t tα+ − = 1 2 4cost t α+ = − 1 2 1t t = − ( )2 2 22 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | 2 16cos 2 18MP MQ t t t t t t α+ = + = + − = + ≤ 2 2 3 2MP MQ+ ≤ 2 2MP MQ+ 3 2 23．（10 分）已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 ，若存在 使 成立，求实数 的取值范 围． 【解析】（1）当 时，原不等式可化为 ，无解； 当 时，原不等式可化为 ，从而 ； 当 时，原不等式可化为 ，从而 ， 综上，原不等式的解集为 ． （2）由 得 ， 又 ， 所以 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ． 21)( ++−= xxxf 03)( ≤−− xxf 22)()( +−= xxfxg x 2( ) 2g x λ λ≥ − λ 2−x 02 ≤−x 21 ≤< x [ ]2,0 λλ 2-)( 2≥xg 2 max( ) 2g x λ λ≥ − ( ) ( ) 2 2 1 2 3g x f x x x x= − + = − − + ≤ 32-2 ≤λλ 032-2 ≤−λλ 31 ≤≤− λ λ [ ]3,1−