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- 2021-02-27 发布
2016-2017学年度第一学期高三毕业班期终考试
理科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2.如果复数，则（ ）
A．的共轭复数为 B．的实部为1 C． D．的虚部为
3.已知向量的夹角为，，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
5.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
6.已知函数在处取得最大值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C.奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点
对称
7.已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）
A． B． C. D．不确定
8.已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（ ）
A． B． C. D．
9.下列五个命题中正确命题的个数是（ ）
（1）对于命题，使得，则，均有；
（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；
（3）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；
（4）已知正态总体落在区间的概率是，则相应的正态曲线在时，达到最高点；
（5）曲线与所围成的图形的面积是.
A．2 B．3 C.4 D．5
10.某企业拟生产甲、乙两产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工，在每台设备、每台设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h，加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h，设备每天使用时间不超过4h，设备每天使用时间不超过5h，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是（ ）
A．18万元 B．12万元 C.10万元 D．8万元
11.数列满足，，，，则（ ）
A． B． C. D．
12.已知，设，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.为抛物线上任意一点，在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为 ．
14.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于49的概率为 ．
15.已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是 ．
16.二次函数与在它们的一个交点处切线互相垂直，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
的三个内角依次成等差数列.
（1）若，试判断的形状；
（2）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.
18. （本小题满分12分）
一个口袋中装有大小形状完全相同的个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余个乒乓球上均标有数字3，若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是.
（1）求的值；
（2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
过点的直线交直线于，过点的直线交轴于
点，，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上且，求实数的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.
（1）求的值；
（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.
（1）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；
（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当且时，解关于的不等式.
怀仁一中2016-2017学年度第一学期期终考试
高三数学（理科）考试题答案
一、选择题
1-5:CDCCA 6-10:BBDBD 11、12：BC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，
∵依次成等差数列，∴，，
由余弦定理得，，∴，
∴为正三角形.
（2）
∵，∴，
∴，.
∴代数式的取值范围是.
18.解：（1）由题设，即，解得.
（2）取值为2，3，4，6，9.
则，，，，.
的分布列为：
2
3
4
6
9
.
19.解：（1）连接，，在中，
∵是中点，∴，
又∵平面，
∴平面.
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，，，
，，.
设平面的法向量，
，
令，则，，∴，∴，
∴平面.
（3）设平面的法向量为，，
，
令，则，，
∴，
∴，
所求二面角的余弦值为.
20.解：由题意，直线的方程是，∵，∴的方程是，
若直线与轴重合，则，若直线不与轴重合，可求得的方程是，
与直线的方程联立消去得，因不经过点，故动点的轨迹的方程是.
（2）设，直线的方程为，于是两点的坐标满足方程组
由方程消去并整理得，
由得，从而，设的中点为，则，
以下分两种情况：①当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴，于是，，由得：.
②当时，线段的垂直平分线方程是，令，得
，∵，∴.
由，
解得：且，∴.
当时，；
当时，，∴且；
综上所述：且.
21.解：（1）是奇函数，则恒成立，
∴，即，
∴，∴.
（2）由（1）知，∴，
∴，
又∵在上单调递减，
∴，
且对恒成立，
即对恒成立，
∴，
∵在上恒成立，
∴，
即对恒成立，
令，则，
∴，而恒成立，
∴.
（3）由（1）知，∴方程为，
令，，
∵，
当时，，∴在上为增函数；
当时，，∴在上为减函数；
当时，，而，
∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当，即时，方程无解；
②当，即时，方程有一个根；
③当，即时，方程有两个根.
22.解：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.
（2）直线的参数方程为（为参数，），故经过点，若直线经过点，则.
∴直线的参数方程为（为参数）
代入，得，
设对应的参数分别为，则，，
∴.
23.解：（1）由得，
所以，解得为所求.
（2）当时，，
所以，
当时，不等式①恒成立，即；
当时，不等式或或
解得或或，即；
综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.