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- 2021-02-27 发布
桂林十八中2019-2020学年度18级高二下学期开学考试卷
数学（理科）
注意事项：
①试卷共4页，答题卡2页.考试时间120分钟，满分150分；
②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；
③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题.每小题只有一个选项符合题意.每小题5分，共60分）
1.若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=
A. {x|–2x–1} B. {x|–2x3}
C. {x|–1x1} D. {x|1x3}
【答案】A
【解析】
试题分析：利用数轴可知，故选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2.已知命题，，则（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】B
【解析】
分析：根据含有一个量词的否定，即可得到命题的否性形式．
详解：根据含有一个量词否定，
可知命题“”的否定是“”，故选B．
点睛：本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记含有一个量词的否定形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
3.下列复数中虚部最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
对于A，虚部是2；对于B，虚部是；对于C，，虚部是6；对于D，，虚部是4.
∴虚部最大的是C
故选C.
4.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 3 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）
设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，
当l经过点C时，目标函数z达到最大值
∴z最大值＝F（1，0）＝1
故选B．
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
5.若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
则：.
本题选择B选项.
6.的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
7.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质由，可以求出的值，再利用函数的单调性结合已知，可以求出x取值范围.
【详解】为奇函数，.
，.
故由，得.
又在单调递减，，
故选：D
【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力.
8.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧视图与俯视图分别为( )
A. ②①① B. ②①② C. ②④① D. ③①①
【答案】A
【解析】
由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除C；俯视图应当是①，排除B.故选A.
点睛：作三视图时，首先要掌握三视图的规律，其次要掌握基本几何体的三视图．要注意三视图是由正投影得出的，其中看见的线用实线，看不见（被面遮住的轮廓线）用虚线表示．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )
A. 4097 B. 9217 C. 9729 D. 20481
【答案】B
【解析】
阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：
，
则，
以上两式作差可得：，
则：.
本题选择B选项.
10.设双曲线：的一条渐近线与抛物线的一个交点的横坐标为，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求得两曲线的交点坐标，根据，求得之间的不等关系，即可求得结果.
【详解】不妨设交点为，故可得，不妨取，
又因为点在渐近线上，故可得
整理可得，由，可得，
故，又因为，
故可得.
故选：A
【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，涉及抛物线方程，属综合基础题.
11.已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
∵函数满足：当时，恒成立，∴函数
为上的偶函数，且在上为单调递增函数，且有，∴，恒成立恒成立，只要使得定义域内，由，得，即函数的周期，∵时，，求导得，该函数过点，如图，且函数在处取得极大值，在处取得极小值，即函数在上的最大值为2，∵，函数的周期是，∴当时，函数的最大值为2，由，即，则，解得或.
故选D．
【点睛】此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得时，的值域为 还考查了函数恒成立．
12.已知在三棱锥中，，，，，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图，取的中点，连接，过作平面，交于点，过作，交于点，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，即，解得，
，，，则，，设球心，则，∴，解得，∴三棱锥的外接球的半径，∴三棱锥外接球的表面积为.故选D．
第Ⅱ卷（本卷共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13.若向量与向量共线，则__________．
【答案】
【解析】
因为向量与向量共线，
所以
14.若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系，即可求得的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.
【详解】因为直线与圆相交，
故可得，故可得，解得或.
又，故可得.
由几何概型的概率求解，
则满足题意的概率.
故答案为：.
【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求参数范围，涉及几何概型的概率求解，属综合基础题.
15.已知f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
【答案】2
【解析】
【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，
由图象可知，函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为2.
16.记表示实数，，的平均数，表示实数，，的最大值，设，，若，则的取值范围是__________．
【答案】或．
【解析】
【详解】作出的图象如图所示
由题意，故
当时，，得
当时，，得，舍去
当时，，得，舍去
当时，，恒成立
综上所述，的取值范围是
三、解答题：（本题包括6题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列前项和公式以及等比中项、等差数列通项公式列方程组，解方程组求得，由此求得数列的通项公式.（2）由（1）求得数列的前项和
的表达式，由此求得数列的表达式，利用裂项求和法求得的的表达式，进而根据单调性等知识求得的取值范围.
【详解】解：(1)解：因为数列是等差数列，
所以，
依题意，有
即
解得，.
所以数列的通项公式为.
(2)证明：由(1)可得.
所以.
所以.
因为，所以.
因为，所以数列是递增数列，
所以，所以.
【点睛】本小题主要考查等差数列通项和前项和基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列的单调性以及数列的取值范围的求法，属于中档题.
18.已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】(1)由题易知，，，
所以，所以的最小正周期为.
(2)因为，所以，则，，即，因为，
所以，因为的面积，所以.
由，可得，所以，即，所以的周长为.
19.根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．
（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求的值；
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1
000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和（单位：元）的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；
（2）利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）由题意知三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，
所以，解得.
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和，
则的所有可能取值为：，
，
，
∴的分布列为
150
200
250
300
.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
20.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】
【详解】（1）由可得，
易得四边形是矩形，∴，
又平面，平面，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面
（2）四棱锥的体积为，
要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值.
由条件可得，
∴，即，
当且仅当时，取得最大值36.
分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，由，可得
，令可得，
同理可得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角为，
.
由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为.
21.已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN面积；
（Ⅱ）当时，求k的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求
的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.
将代入得.解得或，所以.
因此的面积.
（Ⅱ）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系
【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．
22.已知函数．
（）若是函数的一个极值点，求实数的值．
（）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．
【答案】（）；（）．
【解析】
【详解】（）由可得
，
∵是函数的一个极值点，
∴，
∴，计算得出．
代入，
当时，；
当时，，
∴是的极值．
∴．
（）当时，函数的图象恒不在直线上方，
等价于，恒成立，
即，恒成立，
由（）知，，
令，得，，
当时，，
∴在单调减，
，与矛盾，舍去．
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
∴在或处取到，
，，
∴只要，
计算得出．
当时，，
在上单调增，，符合题意，
∴实数的取值范围是．