2018-2019学年四川省雅安中学高二下学期第一次月考数学（文）试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年四川省雅安中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）‎ A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 ‎【答案】B ‎【解析】由题意直接得轨迹为两条射线．‎ ‎【详解】‎ ‎∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，‎ 而|F1F2|＝6，‎ ‎∴满足条件的点的轨迹为两条射线．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎2．下列运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由导数的运算法则依次对选项验证可得．‎ ‎【详解】‎ 选项A，，故错误； ‎ 选项B，，故错误；‎ 选项C， ，故错误；‎ 选项D，，故正确. ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本初等函数的导函数及导数的运算法则，属于基础题．‎ ‎3．已知拋物线的焦点在直线上,则抛物线的标准方程是(   )‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先确定焦点的位置，再由直线与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．‎ ‎【详解】‎ 因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，‎ 其焦点坐标即为直线与坐标轴的交点 所以其焦点坐标为（-12，0）和（0，36）‎ 当焦点为（-12，0）时，P＝24，‎ 所以其方程为，‎ 当焦点为（0，36）时，P＝72，‎ 所以其方程为 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且顶点一定在原点，属于基础题．‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求函数的导数，再由导数的几何意义可求出切线的斜率，故由直线的点斜式方程求得切线的方程为，即，应选答案A。‎ ‎5．已知抛物线上一点到轴的距离为2， 则到焦点的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义和题意，可得点P到抛物线的焦点F的距离．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，抛物线y2＝2x的准线方程为x，‎ ‎∵抛物线上一点P到x轴的距离为2，‎ ‎∴可设P代入得x=2,‎ ‎∴P到抛物线的准线的距离为2，‎ 由抛物线的定义得，点P到抛物线的焦点F的距离为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，以及抛物线的定义的应用，属于基础题．‎ ‎6．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）‎ A．3 B．3或 C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】对m分类讨论，分别求得a2，b2，c2，再根据离心率可求m.‎ ‎【详解】‎ 当m＞5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m﹣5，e2⇒m；‎ 当0＜m＜5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5﹣m，e2⇒m＝3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎7．设是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且满足，则 的面积是(　 　)‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）‎ 根据双曲线性质可知x-y=4，‎ ‎∵∠F1PF2=90°，‎ ‎∴x2+y2=20‎ ‎∴2xy=x2+y2-（x-y）2=4‎ ‎∴xy=2‎ ‎∴△F1PF2的面积为1/2 xy=1‎ 故答案为：1．‎ ‎8．为抛物线的焦点，为上一点，，求的最小值是 (　　)‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出焦点坐标和准线方程，把转化为，利用 当P、N、M三点共线时，取得最小值为，求得到准线的距离即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得 F（ 1，0），准线方程为 x＝﹣1，设点P到准线的距离为d＝|PN|，‎ 又由抛物线的定义得＝，‎ 故当P、N、M三点共线时，取得最小值，所以过点M作准线的垂线垂足为N，且交抛物线于P，此时的P满足题意，且的最小值为=3+1=4,‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想．‎ ‎9．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，∵抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，∴，∴，∴， ，∴双曲线的方程为，故选A.‎ ‎10．设且，则方程和方程，在同一坐标系下的图象大致是（ 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】通过讨论a，b的值，得到表示的圆锥曲线形状；将方程变形为斜截式判断出其斜率及纵截距，由两种曲线的特点，选出图象．‎ ‎【详解】‎ 方程变形为，‎ 当a＞0，b＞0时，表示焦点在x轴的双曲线，‎ 而方程即的斜率为b，纵截距为a，此时斜率b>0, 纵截距a>0‎ ‎∴选项C，D错；‎ 当a＜0，b＞0，且时，表示椭圆，‎ 而，此时斜率b>0, 纵截距a＜0，‎ 故选项A错，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线与方程的概念，考查了逻辑推理能力，一般先根据方程研究方程表示的曲线的性质，再根据曲线的性质选择出合适的图象，属于中档题．‎ ‎11．如图 分别是椭圆 的两个焦点，和是以 为圆心，以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据等边三角形的性质，求得A点坐标，代入椭圆方程，根据椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由题意知A，把A代入椭圆(a＞b＞0)，得，‎ ‎∴，整理，得，∴，∵0＜e＜1，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方体的边长为，椭圆的焦点在正方形的内部，，又正方形的四个顶点都在椭圆上，，，，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的焦点在正方形的内部，构造出关于的不等式，最后解出的范围.‎ 二、解答题 ‎13．求下列函数的导数．‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）先将多项式展开，再求导计算即可．（2）根据导数的公式和导数的除法法则求导即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴＝（）'＝．‎ ‎（ 2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的求法，运算法则的应用，是基础题．‎ ‎14．已知函数.‎ ‎（1）求这个函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（2）若过点的直线与这个函数图象相切，求的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）对函数解析式求导运用导数的几何意义求解；（2）先设切点再求导与，借助导数的几何意义求解：‎ 解：（1），‎ 时， ，‎ ‎∴这个图象在处的切线方程为.‎ ‎（2）设与这个图象的切点为， 方程为 ‎，‎ 由过点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴方程为.‎ ‎15．如图， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的顶点， 是直线与椭圆的另一个交点， .‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知为等边三角形，从而得到的关系式，进而求得离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到的关系式，然后设出直线的方程，并代入椭圆方程得到点坐标，从而求得，再根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程；别解：设，然后利用椭圆的定义表示出的长，再利用余弦定理得到的关系式，从而根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可知， 为等边三角形， ，所以.‎ ‎（2）（ 方法一）， .‎ 直线的方程可为．‎ 将其代入椭圆方程，得 所以 由，‎ 解得， ，‎ ‎（方法二）设. 因为，所以．‎ 由椭圆定义可知， ．‎ 再由余弦定理可得， ．‎ 由知， ， ，‎ ‎【考点】1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．‎ ‎16．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）－y2＝1‎ ‎（2）(－1，－)∪(，1)‎ ‎【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，‎ 所以双曲线C的方程为－y2＝1．‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，‎ 由题意得 ‎，‎ 故k2≠且k2<1 ①．‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，‎ 由·>2得xAxB＋yAyB>2，‎ xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，‎ 于是>2，即>0，解得