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- 2021-02-26 发布
第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知 识 梳 理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( )
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( )
解析 (1)对于α∈R，sin(π＋α)＝－sin α都成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝，
当k为偶数时，sin α＝－.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(2017·泰安模拟)sin 600°的值为( )
A.－ B.－ C. D.
解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
答案 B
3.已知sin＝，那么cos α＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 ∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.故选C.
答案 C
4.已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为( )
A. B.－ C. D.－
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝或－.
又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝－.
答案 B
5.(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则的值为________.
解析 原式＝＝＝3.
答案 3
6.(2017·丽水调研)设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则当x＝________时，函数f(x)＝cos2x＋2asin x－1的最大值为________.
解析 f(x)＝cos2x＋2asin x－1＝1－sin2x＋2asin x－1＝－(sin x－a)2＋a2，因为0≤x≤2π，所以－1≤sin x≤1，又因为a>1，所以f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.
答案 2a－1
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)(2015·福建卷)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B.－ C. D.－
(2)(2017·东阳模拟)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )
A.－ B. C.－ D.
(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A. B. C.1 D.
解析 (1)∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－，故选D.
(2)∵<α<，
∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
∴cos α－sin α＝.
(3)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
答案 (1)D (2)B (3)A
规律方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( )
A.－1 B.－ C. D.1
(2)若3sin α＋cos α＝0，则的值为( )
A. B. C. D.－2
解析 (1)由
得：2cos2α＋2cos α＋1＝0，
即＝0，∴cos α＝－.
又α∈(0，π)，∴α＝，
∴tan α＝tan ＝－1.
(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝
＝＝.
答案 (1)A (2)A
考点二 诱导公式的应用
【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)；
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，求f的值.
解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝＝.
规律方法 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【训练2】 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A.{1，－1，2，－2} B.{－1，1}
C.{2，－2} D.{1，－1，0，2，－2}
(2)化简：＝______.
解析 (1)当k为偶数时，A＝＋＝2；
k为奇数时，A＝－＝－2.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
答案 (1)C (2)－1
考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用
【例3】 (1)已知tan＝，则tan＝________.
(2)(2017·温州模拟)已知cos＝，且－π<α<－，则cos等于( )
A. B. C.－ D.－
解析 (1)∵＋＝π，
∴tan＝tan
＝－tan＝－.
(2)因为＋＝，
所以cos＝sin＝sin.
因为－π<α<－，所以－<α＋<－.
又cos＝>0，所以－<α＋<－，
所以sin＝－
＝－＝－.
答案 (1)－ (2)D
规律方法 (1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等.
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等.
【训练3】 (1)已知sin＝，则cos＝________.
(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝( )
A. B. C.0 D.－
解析 (1)∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝.
(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sin x，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，
所以f＝f
＝f＝f＝f＋sinπ.
因为当0≤x<π时，f(x)＝0.
所以f＝0＋＝.
答案 (1) (2)A
[思想方法]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用.
2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan ＝….
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.