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- 2021-02-26 发布
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲
1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为(t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可将直线化为普通方程：，即，即，所以点(1，0)到直线的距离，故选D．
【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．
(1)分别写出，，的极坐标方程；
(2)曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．
【答案】(1)的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．(2)或或或．
【解析】(1)由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，
．所以的极坐标方程为，的极坐标方
程为，的极坐标方程为．
(2)设，由题设及(1)知若，则，解得；
若，则，解得或；
若，则，解得．
综上，P的极坐标为或或或．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．
3．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．
【答案】．
【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；
当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．
综上，原不等式的解集为．
【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．
4．【2019年高考全国Ⅱ卷】已知
(1)当时，求不等式的解集；(2)若时，，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)当a=1时，．当时，；
当时，．所以，不等式的解集为．
( 2)因为，所以．
当，时，．
所以，的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷】设，且．
(1)求的最小值；
(2)若成立，证明：或．
【答案】(1)；(2)见详解．
【解析】(1)由于
，故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．
(2)由于
，故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．由题设知，解得或．
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．
2.练模拟
1．【重庆西南大学附属中学校2020届高三月考】设函数．
(1)解不等式；
(2)若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．
【答案】(1)或；(2)
【解析】(1)不等式等价于或或，解得或．
(2)对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域．
，由图可得时，，所以的值域为．
，当且仅当与异号时取等号，
所以的值域为，由题，所以，解得．
【名师点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．
2.【2020届辽宁省凌源市高三期末】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)若曲线与曲线交于两点， 为曲线上的动点，求面积的最大值.
【答案】(1),(2).
【解析】(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.
(2)联立圆与直线的方程，可求两曲线交点坐标分别为则，又到的距离，
当时， ，面积最大值为.
3．【山东省郓城一中等学校2020届高三模拟】已知函数，不等式的解集为．
(1)求实数a的值；
(2)设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)1；(2)．
【解析】(1)由得－4≤≤4，即－2≤≤6，
当>0时，，所以，解得＝1；
当<0时，，所以，无解．所以实数的值为1．
(2)由已知＝|x＋1|＋|x－2|＝，
不等式g(x)－tx≤2转化成g(x)≤tx＋2，
由题意知函数的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，
由图得，当t<0时，t≤kAM；当t>0时，t≥kBM，
又因为kAM＝－1，，所以t≤－1或，
即t∈(－∞，－1]∪[，＋∞)．
【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．
4. 【陕西省彬州市2020届高三第一次监测】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，两直线和相交于点.
(1)求点的直角坐标；
(2)若为圆(为参数)上任意一点，试求的范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)依题意知，直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为
联立方程组 ，所以点的坐标为
(2)依题意知，圆的普通方程为，所以圆心为，其半径
∴，∴，故.
5．【安徽省合肥市2020届高三质量检测】设函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若的最小值为，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)，即或，
∴实数的取值范围是．
(2)∵，∴，∴，
易知函数在单调递减，在单调递增，∴．
∴，解得．
【名师点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．
3.练原创
1．在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为(其中为参数)，在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，直线的极坐标方程为
．
(1)求曲线的极坐标方程；(2)求直线与曲线的公共点的极坐标．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)消去参数，得曲线的直角坐标方程．将代
入，得．所以曲线的极坐标方程为．
(2)将与的极坐标方程联立，消去得．
展开得．因为，
所以．于是方程的解为，即．
代入可得，所以点的极坐标为．
2. 设.
(1)求的解集；
(2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由得：
或或，解得
∴的解集为.
(2)，当且仅当时取等号.
由不等式对任意实数恒成立，可得，
解得：或.故实数的取值范围是.
3．【黑龙江省大庆市第一中学2020届高三模拟】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；
(2)若直线与曲线的交点分别为，，求．
【答案】(1)曲线方程为，表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线；(2)10．
【解析】(1)因为，所以，即，
所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线．
(2)设点，点，直线过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线的直角坐标方程，得，
所以所以
．
4、设函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若的解集为， ，求证： .
【答案】(1)；(2)见解析.
【解析】 (1)当时， 或 或
所以解得或即不等式的解集为.
(2)由的解集为得，由均值不等式得，当且仅当时取等. 得.
5．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程(为参数)，若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．
(1)写出曲线的参数方程；
(2)设点，直线与曲线的两个交点分别为，求的值．
【答案】(1)(为参数)；(2)
【解析】(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为，整理得，∴曲线的参数方程(为参数)．
(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数)，
将参数方程带入得，整理得．
，．
【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．