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- 2021-02-26 发布
安平中学2019-2020年上学期高三年级第二次月考
数学试题（文科）
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合、，再利用补集和交集的定义得出集合.
【详解】解不等式，得或；
解不等式，得，解得.
，，则，
因此，，故选：C.
【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
2.已知复数，则（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解。
【详解】由题意复数，则，所以
，故选D。
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
3.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，
又由余弦的倍角公式，可得，
所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A. 岁 B. 岁 C. 岁 D. 岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列是等差数列，由，求得数列的首项，即可得到答案．
【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，
由题可知是等差数列，设公差为，则，
又由，即，解得，
即这位公公的长儿的年龄为岁．
故选C．
【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5.在中，，若为中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，画出三角形，结合平面向量基本定理进行求解即可
【详解】如图；
故选：A
【点睛】本题考查向量的线性运算，平面向量的基本定理，熟悉线性运算的加法和减法公式是解题关键，此类题型需要明确哪两组向量属于基底向量，后续整个变换都围绕这两个基底向量展开即可，属于中档题
6.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出阴影部分的面积，根据面积比的几何概型，即可求解其相应的概率，得到答案.
【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，
此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，
所以阴影部分的面积为，
根据几何概型，可得概率为，故选A.
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7.函数f（x）=的大数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.
【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；
又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数图象识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8.双曲线（，）的左右焦点为，，渐近线分别为，，过点且与垂直的直线分别交及于，两点，若满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
分析：首先将图画出来，之后结合向量的性质，可以确定出是的中点，之后借助于等腰三角形的性质，得到是的角分线，之后与渐近线的倾斜角联系，求得其倾斜角，从而得到斜率，结合双曲线中系数的关系，求得离心率.
详解：根据题意，，可以确定是的中点，
又因为，结合等腰三角形的性质，可以得到是的角分线，
结合双曲线的性质，可以求得双曲线的渐近线的倾斜角为，
从而确定出，所以，故选C.
点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要对向量的基本定理理解的特别透彻，从而确定出有关中点的结论，之后借助于等腰三角形的特征，得到倾斜角的大小，之后得到其系数的关系，从而求得结果.
9.已知函数，且满足，把的图像上各点向左平移个单位长度得到函数，则的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得函数的最小正周期为，结合最小正周期公式可得，据此可得函数的解析式为，结合正弦函数的性质和所给的选项确定函数的一条对称轴即可.
【详解】由可得，
则函数的最小正周期为，即，
故函数的解析式为，
函数解析式为，
函数的对称轴满足：，即，
令，，，，
只有方程存在整数解，
故函数的一条对称轴为.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的对称轴的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.已知，是椭圆：的两个焦点，以为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径和离心率的定义，即，整理，即可求解.
【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，其中圆心，半径为，
又由圆与直线相切，
则圆心到直线的距离为，
又由，整理得，即，
即，解的，
又由，所以，故选D.
【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)
，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
11.三棱锥的四个顶点都在球的球面上，是边长为3的正三角形.若球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是正三角形，可得面积及外接圆的半径，利用垂径定理可得，可求得三棱锥高的最大值，进而求得体积的最大值.
【详解】由题意得的面积为，
又设的外心为，
则，由，得，
∵面∴.
∴球心O在棱锥内部时，棱锥的体积最大．
此时三棱锥高的最大值为，
∴三棱锥体积最大值为.
故选A.
【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，考查了垂径定理的应用，考查了空间想象能力，属于中档题.
12.已知对任意的，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由得在上恒成立，即在上恒成立．
令 ，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∴，∴，∴.
故实数的取值范围是．选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.
13.抛物线的准线方程是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将抛物线方程化成标准式，再求准线即可
【详解】由，抛物线焦点在的正半轴，则此抛物线准线为
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线准线方程的求法，解题时需将抛物线化成标准式，需明确焦点在哪个轴上，属于基础题
14.已知是函数的一个极值点，则曲线在点处的切线斜率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由是函数的一个极值点，求得，进而求得，根据导数的几何意义，即可得到答案.
【详解】由题意，函数，则，
又由是函数的一个极值点，
所以，解得，即，
所以，所以函数在点处切线的斜率为.
【点睛】本题主要考查了利用函数的极值点求参数，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟记函数的极值点的定义，合理利用导数导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15.若满足约束条件，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出可行域，可行域内的点表示到点的斜率取值范围，再求解即可
【详解】如图：
目标函数代表的是可行域内的点到点的斜率取值范围，当直线过点时；，当直线过时，，由图可知应满足
故答案为：
【点睛】本题考查根据线性规划条件求目标函数对应的斜率的范围问题，属于基础题
16.已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值
【详解】由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，
即
则，
当且仅当时取到等号；
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知数列满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得数列是等比数列，且公比为.结合成等差数列求得数列的首项即可确定数列的通项公式；
（2）裂项求和可得，结合前n项和表达式的单调性确定的取值范围即可.
【详解】（1）由知数列是等比数列，且公比为.
成等差数列，
（2）
易知单调递减，
当时，
的取值范围为
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，列项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为等边三角形，，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）要证面面平行即证线面平行，可根据面面平行的判定定理求证，可通过平面来进行求证；
（2）线面角正弦值的求法可通过等体积法进行转化，通过求出点到平面距离，再结合正弦三角函数定义即可求解
【详解】（1）取的中点，连结，
∵分别是的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）如图，连结，
由（1）知平面，∴，
在中，，同理，
在梯形中， ，，
∵，为的中点，∴，
由题意得，
，
设为的中点，连结，由题意得，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
设点到平面的距离为，
∵，∴，解得
∵，∴直线与平面所成角的正弦值.
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，线面角的正弦值，求线面角的正弦值可通过线面角的定义作出线面角，也可通过等体积法转化，求出点到平面距离，结合正弦三角函数定义求解，还可通过建系法进行求解，属于中档题
19.已知椭圆：的焦距为，且，圆：与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）设圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.
【答案】(1) 圆的方程为，椭圆的方程为.
(2).
【解析】
分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，
由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.
详解：(1)因为，所以.①
因为，所以点为椭圆的焦点，所以.
设，则，所以.
当时，，②
由①，②解得，所以，.
所以圆的方程为，椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去可得，
.
=
=.
令，则，所以=，
所以=，所以.
综上，的取值范围是.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：
反馈点数
1
2
3
4
5
销量（百件）/天
0. 5
0. 6
1
1. 4
1. 7
（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（百件）与返还点数之间的相关关系. 请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品每天销量；
（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整. 已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
返还点数预期值区间（百分比）
频数
20
60
60
30
20
10
（ⅰ）求这200位拟购买该商品消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0. 1）；
（ⅱ）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取2名进行跟踪调查，设抽出的2人中，至少有一个人是“欲望膨胀型”消费者的概率是多少？
参考公式及数据：①，；②.
【答案】（1），2百件.（2）平均数为6，中位数为5.7；（ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）分别求出线性回归方程对应的，再根据公式求出，再由公式求出，即可求得；
（2）（i）采用加权平均公式求平均值即可；中位数即频数和为100位置对应返点预期值位置，预判在之间，结合公式进行求解即可；
（ⅱ）结合古典概型概率公式求解即可；
【详解】（1），
，
，
，
则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.
（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，
中位数的估计值为
（ⅱ）由题可知，6人中“欲望紧缩型”消费者人数为：人，“欲望膨胀型”消费者人数为：人，则抽出的两人中至少有1人是“欲望膨胀型”消费者的概率是：
【点睛】本题考查线性回归方程的求法，结合线性回归方程求解预估值，频数分布表中样本平均数和中位数的求法，分层抽样中具体事件概率的求法，属于中档题
21.已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上递增，在上递减． （2）当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．
【解析】
【分析】
(1)由题意，求得函数的导数，分类讨论，利用导数，即可求解函数的单调区间；
(2) 由(1)可知，利用函数的单调性，求得函数的最大值，分类讨论，即可得到函数的零点个数．
【详解】的定义域为．
(1) ，
①当时，，故在上单调递增；
②当时，令，则，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减．
综上所述：当时， 在上单调递增；当时，在上递增，在上递减．
(2) 由(1)可知，当时，在上递增，在上递减．
故，
①当，即时，，此时函数没有零点．
②当，即时，，此时函数有一个零点．
③当，即时，，
令且，则，，
故，故在有一个零点；
再者，，
令，则；再令，
则，故在上单调递减，
故，．
故，故在上有一个零点．
故在上有两个零点．
综上所述：当时，函数没有零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（10分）
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线的倾斜角，点为直线与轴的交点，求的最小值．
【答案】(1) 直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为．(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，消去参数可得直线的普通方程；利用互化公式可得曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义可得．
【详解】（1）直线的普通方程为；
曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程（为参数），代入圆的方程，
得，化简得，
易知，设所对应的参数分别为，则
则，
所以．
当时，取得最小值．
【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程，参数的几何意义，属中档题．
23.已知关于的函数．
（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出的最小值，解不等式即可；（Ⅱ）等价于，即，分为和两种情形讨论即可.
【详解】（Ⅰ），
∴或，
∴或.
故m的取值范围为.
（Ⅱ）∵的解集非空，∴，
∴，
①当时，，恒成立，即均符合题意；
②当时，，，
∴不等式可化为，解之得.
由①②得，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想，属于中档题.