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- 2021-02-26 发布
吉林省普通中学2016-2017学年度高中毕业班第二次调研测试
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择是 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数，则（ ）
A.的模为2 B.的实部为1
C.的虚部为 D.的共轭复数为
3.下列关于命题的说法错误的是（ ）
A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
C.若命题：，，则，；
D.命题“，”是真命题
4.在中，角所对的边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）
A. B. C. D.2
7.设是公差不为0的等差数列，满足，则该数列的前10项和（ ）
A. B. C.0 D.5
8.某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9.已知，把的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象；若对任意实数，都有成立，则（ ）
A. B.3 C.2 D.
10.在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
12.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的取值范围是 ．
14.已知，，与的夹角为，且与垂直，则实数 ．
15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则直线的斜率是 ．
16.艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.
如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
18.已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且为递增数列，若，求证：.
19.某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄（岁）
19
24
26
30
34
35
40
合计
工人数（人）
1
3
3
5
4
3
1
20
（1）求这20名工人年龄的众数与平均数；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.
20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）若，平面平面，求平面与平面所成的二面角的余弦值.
21.如图，椭圆，点在短轴上，且.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
22.设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
吉林省普通中学2016-2017学年度高中毕业班第二次调研测试
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题
1-5:ACDCB 6-10:BCAA 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）由图象知，，
将点代入解析式得，因为，所以，
所以.
（2）由得：，
所以，，
因为，所以，所以，，，
，，，所以，
所以.
18.解：（1）设数列的公比为，
当时，符合条件，，，
当时，，所以，解得，.
，
综上：或.
注：列方程组求解可不用讨论.
（2）证明：若，则，与题意不符；
，，
，
.
19.解：（1）由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，
这20名工人年龄的平均数为：
.
（2）这20名工人年龄的茎叶图如图所示：
（3）记年龄为24岁的三个人为；年龄为26岁的三个人为，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为：
，
，
共15种.
满足题意的有3种，
故所求的概率为.
20.（1）证明：∵是菱形，∴，
又平面，平面，
∴平面，
∵四点共面，且面面，
∴.
（2）解：取中点，连接，，
∵，∴，
∵平面平面，平面平面，
∴面，
∴，在菱形中，∵，，是中点，
∴，
如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
由得，，，，，
，.
又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，
∴，，，
设平面的法向量为，
则有，，取，则.
∵平面，∴是平面的一个法向量，
，二面角的余弦值为，
∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.
21.解：（1）由已知，点的坐标分别为，，
又点的坐标为，且，即，
解得，所以椭圆的方程为.
因为，所以离心率.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，的坐标分别为
，联立得，
其判别式，所以，，，
从而
，
所以，当时，，
即为定值，
当直线斜率不存在时，直线即为直线，
此时，
故存在常数，使得为定值.
22.解：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，
又，即，所以.
（2）的定义域为，
，
①若，则，故当时，，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，即，
解得或.
②若，则，故当时，；当时，
，在上单调递减，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，
而在上恒成立，
所以.
③若，在上递减，不合题意.
综上，的取值范围是.