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- 2021-02-26 发布
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】
【易错点晴】判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．根据需要比较大小的两式的结构特征，选择相应的比较方法，可选用作差比较法、作商比较法 ，也可以构造函数，结合函数的图象或者研究函数的性质，从而得出两式大小.
2.下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件
B．若，，则 ，
C．命题“若，则或”的否命题是“若，则或”
D．命题和命题有且仅有一个为真命题的充要条件是为真命题
【答案】D
【解析】
试题分析：A是非充分非必要条件；B应该为“ ，”；C应该为“若
，则且”.故D正确.
考点：四种命题及其相互关系、充要条件、全称命题与特称命题．
3.如果实数满足条件，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． 0 D．
【答案】B
【解析】
考点：线性规划．
4.在中，角，，的对边分别为，，，则以下结论错误的为（ ）
A．若，则
B．
C.若，则；反之，若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，，此时只能判断三角形为直角三角形，无法判断为等腰三角形，故选D.
考点：解三角形．
5.已知等差数列的前项和为，，，如果当时，最小，那么
的值为（ ）
A．10 B．9 C. 5 D．4
【答案】C
【解析】
考点：等差数列的基本性质．
6.在数列中，已知，则等于（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，，代入选项验证，排除B，C.当时，，代入选项验证，排除A.故选D.
考点：数列的基本概念．
7.已知中，，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】
试题分析：由正弦定理和余弦定理得，化简得
，当且仅当时成立，故为直角三角形.
考点：解三角形．
8.数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
考点：已知求．
9.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：原不等式等价于.对不等式的左边，函数在区间
上为减函数，故，所以.对于不等式的右边，，函数在区间上为增函数，最小值为，所以.综上所述．
考点：不等式．
10.已知满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域如下图所示，将代入目标函数，分别求得，所以取值范围为.
考点：线性规划．
11.已知函数，且，设等差数列
的前
项和为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
.，所以，当且仅当时等号成立，由于为正整数，所以当时，取得最小值为．
考点：函数与数列，不等式．
【思路点晴】本题考查二次函数图象与性质，函数与数列的关系，基本不等式等知识.一个二次函数有两个函数值相等，那么一种可能是这两个数相等，另一种情况就是这两个自变量关于对称轴对称.由此求出的值有两个.分别代回的表达式.其中一种情况是含有常数的二次函数，根据等差数列的前项和公式没有常数项这个特点，排除这个值.最后利用基本不等式求最值.
12.数列满足，，若不等式，对任何正整数
恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C.
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：依题意，由此可知，所以，所以
，对任何正整数恒成立，即.
考点：数列与不等式．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若，，，则下列不等式：
①；②；③；④.
其中成立的是________（写出所有正确命题的序号）.
【答案】①③④
【解析】
试题分析：由于，所以①正确.，所以②不正确.
，所以③正确.，所以④正确.
考点：不等式的性质．
14.如图，一船在海上自西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进千米后
在处测得该岛的方位角为北偏东角.已知该岛周围千米范围内（包括边界）有暗礁.现该船继续东
行.当与满足下列__________（填序号）条件时，该船没有触礁危险.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
【答案】（1）（3）
【解析】
考点：解三角形实际应用．
15.数列满足，，数列的前项和记为，若有
对任意的恒成立，则正整数的最小值为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：由得，所以是首项为公差为的等差数列，通项公式为，所以.
，所以是递减数列，最大项为
，故的最小正整数为.
考点：数列与不等式．
16.已知的面积为，内角，，所对的边分别为，，，且
成等比数列，，，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
试题分析：成等比数列，所以，所以，所以，.
，因为，所以，.
.令，由于，所以当时，有最大值为，故最小值为.
考点：解三角形，正弦定理，余弦定理．
【思路点晴】本题考查了等比数列的性质，考查了导数求解最值问题的能力.三个数成等比数列，则有，可将已知化为，然后利用正弦定理、余弦定理可得到，由此可求出三角形的面积为.再由.由求出，最后利用导数求得最值.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知，，.
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题解析：
（1），∵是的充分条件，∴是的子集，
，∴的取值范围是.
（2）由题意可知一真一假，当时，，
真假时，由；
假真时，由或.
所以实数的取值范围是.
考点：含有逻辑联结词命题真假性．
18.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状.
【答案】（1）；（2），等边三角形.
【解析】
试题解析：
（1）∵，∴由正弦定理可知，，
，.
∵，∴.
∵，∴.∵，∴.
（2）由题知，
，，∴.∵由余弦定理可知： ，
，∴.当且仅当“”时等号成立，
∴最大值是，此时三角形为等边三角形.
考点：解三角形．
19.（本小题满分12分）
我国西部某省4级景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强名俗文化基础设施，据
调查，修复好村民文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第天
近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足
（元）.
（1）求该村的第天的旅游收入（单位千元，，）的关系；
（2）若以最低日收入的20%作为每一天的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在
两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）；（2）能.
【解析】
试题解析：
（1）依题意有
.
（2）①当，时，
（当且仅当时，等号成立），
∴（千元）②当，时，，
考察函数，可知函数在上单调递减，
∴（千元），
又，∴日最低收入为1116千元.
该村两年可收回的投资资金为（千元）（万元）.
∵（万元）（万元），∴该村在两年内能收回全部投资成本.
考点：实际应用问题．
20.（本小题满分12分）
已知，，分别为三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，的面积为，判断此三角形的形状.
【答案】（1）；（2）等边三角形.
【解析】
试题解析：
（1）
.
∵，∴.∵，
∴，∴.
故是正三角形.
考点：解三角形．
21.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或.
【解析】
试题分析：（1），当时，，两式相减求得；（2），利用放缩法和裂项求和法求得；（3）是一个等差数列乘以一个等比数列，所以利用错位相减法求得，原不等式转化为，当为偶数时，，右边是一个减函数，最小值为，所以；当为奇数时，，右边是一个增函数，最大值为，所以.
试题解析：
（2）
，所以对任意正整数，都有成立.
（3）易知，则，①
，②
①-②可得： .
故，所以不等式成立，
若为偶数，则，所以.
设，则在单调递减，
故当时，，所以；
若为奇数，则，所以.
设，则在单调递增，
故当时，，所以.综上所述，的取值范围或.
考点：数列基本概念，数列求和，数列与不等式．
22.（本小题满分12分）
函数满足：对任意，都有，且，数列满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，，记.问：是否存在正整数，使
得当时，不等式恒成立？若存在，写出一个满足条件的；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1），求出，利用配凑法配成等差数列
，由此求得；（2）化简，，所以，利用放缩法将缩小，由此求得，综上有，所以，化简得，要使成立，只需.
试题解析：
（1）∵，，
∵，
∴，∴为等差数列，首项为，公差为1.
∴.
（2）∵，∴，
∴.
①∵，.
②∵.
当时，，
∴.
由①②知，
考点：数列的概念与性质，不等式．
【方法点晴】第一问考查了配凑法求数列的通项公式.形如或的递推数列
求通项公式，可以在原递推公式两边同除以，得：，令，得：
再两边配成等比数列来求通项公式.第二问先用放缩法放缩，利用等比数列前项和公式求得
再用一次放缩法求得，最后用恒成立问题解法求.