数学文卷·2018届内蒙古赤峰市宁城县高三10月月考（2017 10页

宁城县高三年级统一考试（2017.10.20） 数学试题（文科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应 位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合  0 6A x x   ，集合  2 2 8 0,B x x x x Z     ，则 A B  错误！ 未找到引用源。【来源：全,品…中&高*考+网】 (A) 4,2 错误！未找到引用源。 (B)  4 6 , 错误！未找到引用源。 ( C)  01, 错误！未找到引用源。 (D)  0,1,2 错误！未找到引用源。 2. i 是虚数单位，若复数 z 满足 1 3i i  z ，则复数 z 的模是 (A) 2 (B) 2 (C) 4 (D) 3 3.某单位共有职工 150 名，其中高级职称 45 人，中级职称 90 人，初级职称 15 人，现采用 分层抽样方法从中抽取容量为 30 的样本，则各职称人数分别为 （A）9,16,5 （B） 10,15,5 （C） 10,17,3 （D）9,18,3 2 4 6log 3, log 3, log 3, , ,a b c a b c  4. 已知 则 的大小关系为 ( ) ( ) ( ) ( )A a b c B a c b C a b c D a c b        5．某路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，黄灯时间为 5 秒，绿灯时间为 40 秒，假设你在任 何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是 （A） 3 5 （B） 4 5 （C）14 15 （D） 1 15 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一 个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第三天走了 (A)96 里 (B)48 里 (C) 192 里 (D)24 里 7.某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 1）， 则这个几何体的外接球的面积是 （A）36 （B）16 （C） 48 （D）32 3 8.若实数 x ， y 满足不等式组 1, 2, 0, y x y x y        则 yxz 2 的最小值为 （A）1 （B） 2 （C） 2 5 （D） 2 7  9. 2 | | 2 3( ) ( ) ( ) ( )6 4 3 4 a b a b a a b A B C D              已知 ， ， ，则 ， 10.若双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一条渐近线与圆 2 2( 3) ( 1) 3x y    相切，则 此双曲线的离心率为 （A）2 （B） 7 2 （C） 2 3 3 （D） 7 11．函数 y＝ x xa x (a>1)的图象的大致形状是 (A) (B) (C) (D) 12．已知函数     21 ,f x g x xx   .若直线 l 与曲线    ,f x g x 都相切，则直线 l 的方程为 （A） 2 4 0x y   （B） 2 4 0x y   （C） 4 4 0x y   （D） 4 4 0x y   宁城县高三年级统一考试（2017.10.20） 数学试题（文科） 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答，第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.函数 ( ) sin cosf x x x 的最小正周期为_____________; 14. 执行如图所示的程序框图，若输入 2x  ，则输出 y 的值 为 . 15．抛物线 yx 42  上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点 的距离为 . 16.在四边形 ABCD 中，且 2 6AD CD ， , 4 3BC  , 2D B , 3cos .3B ， 则 AB =___________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 12 分） 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2a  ， 3 6a  ． （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设数列 1 nS       的前 n 项和为 nT ，求 2017T 的值． 18．（本小题满分 12 分） 50某班主任对全班 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50              2 2 0,1 n ad bcK a b c d a c b d      Ⅰ 按照分层抽样从积极参加班级工作中抽取4人，再从这4人中任选2人参加某项活动，求这两人 学习积极性都高的概率； Ⅱ 试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作态度是否有关？ 并说明理由. 参考公式与临界值表： 【来源：全,品…中&高*考+网】 19．（本小题满分 12 分） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 2 , 1 .3 ABC A B C ABB A ABB A BCC B BCC BC D CC     在三棱柱 中，四边形 是边长为 的正方形，且平面 平面 ， ， 为 中点 [     1 1 1 .. DB ABDⅠ 证明： 平面 ； Ⅱ 求A 到平面AB D的距离 【来源：全,品…中&高*考+网】 20．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，点  1 3,0F  ，圆 F2： 2 2 2 3 13 0x y x    ，以动点 P 为圆心的圆过点 F1，且圆 P 与圆 F2 内切． （Ⅰ）求动点的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设过点 1F 的直线 l 和（Ⅰ）中轨迹 C 椭圆交于两点 ,A B ，且 1 12AF F B  ，求直 线l 的方程.  2P K k 0.100 0.050 0.025 [来 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【来源：全,品…中&高*考+网】 21．（本小题满分 12 分） 已知函数    2ln 1 ,f x x a x   其中 0.a   Ⅰ 当 2a  时,求函数  f x 的单调性；  Ⅱ 若函数  f x 有两个极值点 1 2, ,x x 且 1 2 ,x x 求证：  2 1 -ln 2 0.2 f x  【来源：全,品…中&高*考+网】 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时 请写清题号） 22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为  cos 2sin 10    ，将曲线 1 cos: sin xC y      （ 为参数），经过伸缩变换 / / 3 2 x x y y    后 得到曲线 2C . （Ⅰ）求曲线 2C 的参数方程； （Ⅱ）若点 M 的曲线 2C 上运动，试求出 M 到直线 C 的距离的最小值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数 1 1( ) 2 2f x x x    的最小值为 m . (Ⅰ)求 m ; (Ⅱ)若 , , ,a b c d R 且 2 2 2 2a b c d m    ,证明: 1ac bd  . 宁城县高三年级统一考试（2017.10.20） 数学试题（文科）参考答案 一、 选择题：DADA CBCD BCCD 二、 填空题：13、 ； 14、23； 15、5； 16、8。 三、 解答题 17. 解：（1） 公差 ，-----------------2 分 通项公式 ，即 -----------5 分 （2） ，------------------7 分 所以 --------------------------9 分 ---------------12 分 20．解：（1）圆 F2： 化为 ． 故 ，半径 r=4．而 ＜4， ∴点 F1 在圆 F2 内， 又由已知得圆 P 的半径 R=|PF1|，由圆 P 与圆 F2 内切得，圆 P 内切于圆 F2， 即|PF2|=4﹣|PF1|，∴|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，-------------------------------4 分 故点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 有 ，则 ． 故动点的轨迹方程为 ；---------------------------5 分 （2）设直线 的方程是 由 消 并整理得 ------------------8 分 显然 设 ， ，则 ①， ② -------10 分 因为 得 ③， 由①②③解得 ， 即 因此存在直线 ： ， 使得 --------------------12 分 21.解： ------2 分 当 时, ，即时，令 得 --------------4 分 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ………5 分 证明： 在 单调递增，且 ， ，…….6 分 有两个极值点 ， . ---------------------7 分 令 ---------------9 分 在 单调递增. 【来源：全,品…中&高*考+网】 ------------------------11 分 综上可知： ……………………………………….12 分 22. 解（1）将曲线 （ 为参数）化为 ，【来源：全,品…中&高* 考+网】 由伸缩变换 化为 ，代入圆的方程得 ， 可得曲线 的参数方程为 （ 为参数）.-----------------5 分 （2）曲线 的极坐标方程 ，化为直角坐标方程： ， 设 点 到 的距离 ，【来源：全,品…中&高*考+网】 ∴点 到 的距离的最小值为 .---------------------------10 分 解：（1） ∴ --------------------------5 分 （2）∵ ∴ -----------8 分 ∵ ∴ --------------------10 分