2020九年级数学上册第1章二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积最值问题同步练习2 7页

第1章　二次函数 ‎1.4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积的最值问题 知识点1　矩形(正方形)面积的最值问题 ‎1．用一根长为‎30 cm的绳子围成一个矩形，其面积的最大值为(　　)‎ A．‎225 cm2 B．‎112.5 cm2‎ C．‎56.25 cm2 D．‎100 cm2‎ ‎　图1－4－1‎ ‎2．如图1－4－1所示，在长度为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为________．‎ ‎3．2016·衢州某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长‎50 m)，中间用两道墙隔开(如图1－4－2)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为‎48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.‎ 图1－4－2‎ 知识点2　其他图形面积的最值问题 图1－4－3‎ ‎4．如图1－4－3，已知▱ABCD的周长为‎8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm.‎ ‎(1)▱ABCD的面积y(cm2)与x之间的函数表达式为________，自变量x的取值范围为________；‎ ‎(2)当x＝________时，y的值最大，最大值为________．‎ 7‎ ‎5．如图1－4－4，在矩形ABCD中，AB＝‎18 cm，AD＝‎4 cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上以每秒‎2 cm的速度匀速向点B运动，点Q在边BC上以每秒‎1 cm的速度匀速向点C运动，当点P，Q中的一方到达终点，运动便停止．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y(cm2)．‎ ‎(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；‎ ‎(2)求△PBQ的面积的最大值．‎ 图1－4－4‎ ‎6．课本例1变式课本中有一个例题：‎ 有一个窗户形状如图1－4－5①，上部分是一个半圆，下部分是一个矩形，如果制作窗户边框的材料的总长度为6 m，如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？‎ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2.‎ 我们如果改变这个窗户的形状，上部分改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料的总长度仍为6 m，利用图③，解答下列问题：‎ ‎(1)若AB为‎1 m，求此时窗户的透光面积；‎ ‎(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．‎ 图1－4－5‎ 7‎ ‎7．如图1－4－6所示，在矩形ABCD的边AB，BC，CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG.如果AB＝60，BC＝40，那么四边形EFGH的最大面积是(　　)‎ A．1350 B．‎1300 C．1250 D．1200‎ 图1－4－6‎ ‎　　　　图1－4－7‎ ‎8．如图1－4－7所示，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，E是AD上一动点(不与点A，D重合)，F是CD上一动点，AE＋CF＝4，则△BEF面积的最小值为________．‎ ‎9．如图1－4－8，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，E是AC上一个动点(点E与点A，C不重合)，ED∥BC，连结CD，求△CED面积的最大值．‎ 图1－4－8‎ ‎　图1－4－9‎ ‎10．2017·义乌某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为‎50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．‎ 7‎ ‎(1)如图1－4－10①，饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？‎ ‎(2)如图②，现要求在图中所示位置留‎2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多‎2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．‎ 图1－4－10‎ ‎11．如图1－4－11，在边长为‎24 cm的正方形纸片ABCD上剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.‎ ‎(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎(2)某广告商要求包装盒的表面积S(不含下底面)最大，x应取何值？‎ 图1－4－11‎ 7‎ 详解详析 ‎1．C ‎2. ‎3．144　[解析] 设AB长为x m，则BC＝(48－4x)m，饲养室的面积S＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144，当x＝6时，Smax＝144.‎ ‎4．(1)y＝－x2＋2x　01.05，‎ 故窗户透光面积的最大值变大了．‎ ‎7．C ‎8．3 ‎9．设DE＝x，‎ ‎∵BC＝AC，∠ACB＝120°，‎ ‎∴∠B＝∠A＝30°.‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠AED＝∠ACB＝120°，‎ ‎∴∠ADE＝30°＝∠A，‎ ‎∴AE＝DE＝x，‎ ‎∴CE＝4－x.‎ 过点C作CM⊥DE于点M，‎ ‎∴EM＝CE，CM＝＝(4－x)，‎ ‎∴S△CED＝CM·DE＝·(4－x)x＝－(x－2)2＋，‎ 当x＝2时，△CED的面积最大，最大值为.‎ ‎10．解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，‎ 7‎ ‎∴当x＝25时，占地面积y最大，‎ 即当饲养室的长x为25 m时，占地面积y最大．‎ ‎(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋‎ ‎338，‎ ‎∴当x＝26时，占地面积y最大，‎ 即当饲养室的长为26 m时，占地面积y最大．‎ ‎∵26－25＝1(m)≠2 m，‎ ‎∴小敏的说法不正确．‎ ‎11．(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝x，EF＝a＝2x，‎ ‎∴x＋2x＋x＝24，解得x＝6，∴a＝6 ，‎ V＝a3＝(6 )3＝432 (cm3)．‎ ‎(2)设包装盒的底面边长为b cm，高为h cm，则b＝x，h＝＝12 －x，‎ ‎∴S＝4bh＋b2＝4 x·(12－x)＋(x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384.‎ ‎∵0