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- 2021-02-26 发布
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数学试卷
一、单选题（共20题；共40分）
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )
A. B. C. D.
2.下列函数中为偶函数的是（ ）
A. y=x+ B. y=x3 C. y= D. y=|x|+1
3.若集合 ， 则（ ）
A. {4} B. {1，2，3，4，5} C. D.
4.已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+n（n∈N+），则a4的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.计算等于（ ）
A. B. C. D. 1
6.已知 是偶函数，且 ，那么 的值为（ ）
A. 5 B. 10 C. 8 D. 不确定
7.以下说法正确的有（ ）
①若 ，则 ；②若 是定义在R上的奇函数，则 ；③函数 的单调递减区间是 ；④若集合P ={a ， b ， c}，Q ={1，2，3}，则映射f：P →Q中满足f（b）=2的不同映射共有（ ）个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
9.已知在中， ， 这个三角形的最大角是 ( )
A. 135° B. 90° C. 120° D. 150°
10.如图在斜三棱柱 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A. 直线AC上 B. 直线BC上 C. 直线AB上 D. △ABC内部
11.函数 在 上恒为正数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）
A. 4 B. 6 C. -4 D. -6
13.已知向量 =(1-sin ， 1），=（ ， 1+sin），且平行于 ， 则锐角θ等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
14.在 中，点 是 上的点,且满足 , ,则 的值分别是（ ）
A. B. C. D.
15.已知奇函数 的定义域为 ，且对任意正实数 ，恒有 ﹥0 ，则一定有（ ）
A. B. C. D.
16.在锐角三角形△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，（a+b+c）（a+c﹣b）= ，则cosA+sinC的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
17.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ）
A. B. C. D.
18.对于给定的正数 ，定义函数 ，若对于函数 的定义域内的任意实数，恒有 ，则（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为1
19.从一副标准的52张扑克牌（不含大王和小王）中任意抽一张，抽到黑桃Q的概率为（）
A. B. C. D.
20.设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
二、填空题（共10题；共10分）
21.玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗?________.(填“公平”或“不公平”)
22.表面积为24的正方体的外接球的体积为________．
23. 的值为________.
24.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________.
25.函数f（x）= 的值域是________．
26.某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是 ， 则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为________
27.已知cos（75°﹣α）= ， 则cos（30°﹣2α）的值为________
28.已知 是平面单位向量，且 ，若平面向量 满足 ，则 ________．
29.定义区间 的长度为 ，已知函数 的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
30.已知 ，则 ________
三、解答题（共6题；共50分）
31.已知角 的终边上有一点P的坐标是 ，其中 .求 , , 的值.
32.如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2 ， 在点O处交汇；该商业区为圆心角 、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1 ， l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1 ， l2上．
（1）设OA=akm，OB=bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；
（2）设∠AOT=α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．
33.已知圆O的方程为x2+y2=5．
（1）P是直线y= x﹣5上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，求证：直线CD过定点；
（2）若EF、GH为圆O的两条互相垂直的弦，垂足为M（1，1），求四边形EGFH面积的最大值．
34.化简求值
（1）
（2）
35.已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数的取值范围.
36. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用m万元（ ）满足 （k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 元来计算）
（1）将2020年该产品的利润 万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
2.【答案】 D
3.【答案】 B
4.【答案】D
5.【答案】 D
6.【答案】 B
7.【答案】B
8.【答案】 B
9.【答案】 C
10.【答案】 C
11.【答案】 D
12.【答案】 C
13.【答案】 B
14.【答案】C
15.【答案】 D
16.【答案】 B
17.【答案】 B
18.【答案】 B
19.【答案】 A
20.【答案】 A
二、填空题
21.【答案】不公平
22.【答案】
23.【答案】
24.【答案】
25.【答案】（﹣∞，2]
26.【答案】
27.【答案】
28.【答案】
29.【答案】4；2
30.【答案】
三、解答题
31.【答案】 解：由三角函数的定义, ,
当 时, ；
当 时,
32.【答案】 （1）解：在△AOB中，OA=akm，OB=bkm， ；
由余弦定理得：
=a2+b2﹣ab；
所以 ；
如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则 ，
所以直线AB的方程为 ，
即 ；
因为AB与扇形弧相切，所以 ，
即 ；a，b∈（3，6）
（2）解：）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．
在Rt△OTA中，AT=3tanα；
在Rt△OTB中， ；
所以，AB=AT+TB=3tanα+3tan（ ﹣α）（0＜α＜ ）
所以，AB=3（tanα+ ）= ；
设 ，u∈（1，4），
则 ，
当且仅当u=2，即 时取等号；
此时 km．
所以，当 km时，新建公路AB的长度最短．
33.【答案】 （1）证明：设P（x0 ， y0），则 ，
由题意，OCPD四点共圆，且直径是OP，
其方程为 ，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，
由 ，得：x0x+y0y=5．
∴直线CD的方程为：x0x+y0y=5．
又 ，∴ ，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0．
由 ，得： ．
∴直线CD过定点
（2）解：设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1、d2 ， 则 ．
∴ ，
故 ．
当且仅当 ，即d1=d2=1时等号成立．
∴四边形EGFH面积的最大值为8
34.【答案】 （1）解：原式 ；
（2）解：原式= = =
35.【答案】 （1）解：∵ 在 上奇函数，即 恒成立， ∴ .即 ， 解得 .
（2）解：由（1）知 ， 原不等式 ，即为 .即 . 设 ，∵ ，∴ ， ∵ 时，
恒成立， ∴ 时， 恒成立， 令函数 ,根据二次函数的图象与性质，可得 ，即 解得 .
36.【答案】 （1）解：由题意知，当 时， （万件）， 则 ，解得 ， . 所以每件产品的销售价格为 （元）， 2018年的利润 .
（2）解： 当 时， ， ，当且仅当 时等号成立. ， 当且仅当 ，即 万元时， （万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元