2019届二轮（理科数学）　函数单调性、奇偶性与周期性综合运用课件（19张）（全国通用） 19页

第6节　函数单调性、奇偶性与周期性综合运用 内容简介 本节主要包含以下三方面的知识点 : (1) 函数的单调性和最值 ; (2) 函数的奇偶性 ; (3) 函数的周期性 . 考试说明要求 : (1) 理解函数的单调性、奇偶性 , 会判断函数的单调性、奇偶性 ; (2) 会综合使用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解决简单的函数问题 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 1. 函数的周期性 (1) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+a)=f(x-a)(a≠0), 则函数的周期为 ; (2) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x+a)=-f(x)(a≠0), 则函数的周期为 ; 2a 2a (3) 若定义在 R 上的恒不为 0 的函数 f(x) 满足 f(x+a)= (a≠0), 则函数的周期为 ; 2a (4) 若定义在 R 上的恒不为 0 的函数 f(x) 满足 f(x+a)=- (a≠0), 则函数的周期为 . 2a 2. 函数奇偶性、对称性、周期性的互相转化 (1) 若定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于点 A(a,0)(a∈ R ) 对称 , 则 f(x+a) 是 , 反之也成立 ; 奇函数 (2) 若定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于直线 x=a(a∈ R ) 对称 , 则 f(x+a) 是 , 反之也成立 ; (3) 若定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于点 A(a,0),B(b,0)(a,b∈ R ,a≠b) 均对称 , 则 f(x) 是周期函数 , 且 是它的一个周期 ; (4) 若定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于直线 x=a,x=b(a,b∈ R ,a≠b) 均对称 , 则 f(x) 是周期函数 , 且 是它的一个周期 ; (5) 若定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于直线 x=a 和点 B(b,0)(a,b∈ R ,a≠b) 均对称 , 则 f(x) 是周期函数 , 且 是它的一个周期 ; 偶函数 2|b-a| 2|b-a| 4|b-a| (6) 若 f(x) 为定义在 R 上的奇函数 , 且 a(a∈ R ,a≠0) 是 f(x) 的一个周期 , 则 f(x) 的图象关于点 对称 ; (7) 若 f(x) 为定义在 R 上的偶函数 , 且 a(a∈ R ,a≠0) 是 f(x) 的一个周期 , 则 f(x) 的图象关于直线 对称 . 1. 下列函数中 , 既是偶函数又在 (0,+∞) 上是减函数的是 ( 　 　 ) (A)y=x-1 (B)y=ln x 2 (C)y= (D)y=-x 2 课前检测 D 解析 : 由函数的奇偶性排除 A,C, 由函数的单调性排除 B, 由 y=-x 2 的图象可知当 x>0 时此函数为减函数 , 又该函数为偶函数 , 故选 D. 2. 已知 f(x) 在 R 上是奇函数 , 且满足 f(x+4)=f(x), 当 x∈(0,2) 时 ,f(x)=2x 2 , 则 f(7) 等于 ( 　 　 ) (A)2 (B)-2 (C)-98 (D)98 解析 : 因为 f(x+4)=f(x), 所以函数 f(x) 的周期 T=4, 又 f(x) 在 R 上是奇函数 , 所以 f(7)=f(-1)=-f(1)=-2×1 2 =-2. B D 4. 奇函数 f(x) 的定义域为 R , 若 f(x+1) 为偶函数 , 且 f(1)=2, 则 f(4)+f(5) 的值为 ( 　 　 ) (A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2 解析 : 设 g(x)=f(x+1), 因为 f(x+1) 为偶函数 , 则 g(-x)=g(x), 即 f(-x+1)=f(x+1), 因为 f(x) 是奇函数 , 所以 f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1), 即 f(x+2)=-f(x), f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), 则 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, 所以 f(4)+f(5)=0+2=2. A 例题精讲 考点一 函数的单调性与奇偶性 【 例 1】 函数 y=f(x)(x≠0) 是奇函数 , 且当 x∈(0,+∞) 时是增函数 , 若 f(1)=0, 求不等式 f[x(x- )]<0 的解集 . 变式 : 已知函数 y=f(x+1) 为偶函数 , 且 f(x) 在 (1,+∞) 上单调递减 , 设 a=f(log 2 10), b=f(log 3 10),c=f(0.1 0.2 ), 则 a,b,c 的大小关系是 ( 　　 ) (A)a>b>c (B)b>a>c (C)c>b>a (D)c>a>b 解析 : 因为函数 y=f(x+1) 为偶函数 , 所以 f(-x+1)=f(x+1), 设 t=x+1, 得 f(t)=f(2-t), c=f(0.1 0.2 )=f(2-0.1 0.2 ), 因为 0<0.1 0.2 <1, 所以 1<2-0.1 0.2 <2, 所以 2-0.1 0.2 b>a. 故选 C. 考点二 函数的奇偶性与周期性 【 例 2】 设 f(x) 是 (-∞,+∞) 上的奇函数 ,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时 , f(x)=x. (1) 求 f(π) 的值 ; 解 : (1) 由 f(x+2)=-f(x) 得 ,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x) 是以 4 为周期的周期函数 , 所以 f(π)=f(-1×4+π) =f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π) =π-4. (2) 当 -4≤x≤4 时 , 求 f(x) 的图象与 x 轴所围成图形的面积 ; 解 : (2) 由 f(x) 是奇函数 ,f(x+2)=-f(x), 得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x) 的图象关于直线 x=1 对称 . 又当 0≤x≤1 时 ,f(x)=x, 且 f(x) 的图象关于原点成中心对称 , 则 f(x) 的图象如图所示 . 当 -4≤x≤4 时 ,f(x) 的图象与 x 轴围成的图形面积为 S, 则 S=4S △OAB =4×( ×2×1)=4. (3) 写出 (-∞,+∞) 内函数 f(x) 的单调区间 . 解 : (3) 函数 f(x) 的单调递增区间为 [4k-1,4k+1](k∈ Z ), 单调递减区间为 [4k+1,4k+3](k∈ Z ). 规律方法 函数性质的综合问题 , 可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象 , 充分利用已知区间上函数的性质 , 体现了转化思想 . 变式 : 已知函数 f(x) 是 (-∞,+∞) 上的偶函数 , 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2) 时 ,f(x)=log 2 (x+1), 则 f(-2 018)+f(2 017) 的值为 ( 　　 ) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析 : f(-2 018)+f(2 017)=f(2 018)+f(2 017)=f(0)+f(1)=log 2 1+log 2 (1+1)=1. 故选 C. 考点三 函数的单调性、奇偶性与周期性综合运用 【 例 3】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间 [0,2] 上是增函数 , 则 ( 　　 ) (A)f(-25)