2019-2020学年福建省长汀、连城一中等六校高一上学期期中联考数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年福建省长汀、连城一中等六校高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合,则与集合的关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】验证是否满足条件．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，属于基础题．‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由和可得．‎ ‎【详解】‎ 由题意，解得，∴定义域为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域．函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，我们所学函数有意义一般指：‎ ‎（1）分母不为0；（2）偶次根式下被开方数非负；（3）0次幂底数不为0；（4）对数的真数大于0；（5）形如和的式子中且；（6）正切函数 中．（7）实际应用中自变量具有的实际意义的限制．‎ ‎3．下列函数中是偶函数但不是奇函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性的定义判断．‎ ‎【详解】‎ A．，，但不恒成立，是奇函数不是偶函数；‎ B．，和都不恒成立，既不是奇函数也不是偶函数；‎ C．，，但，是偶函数，不是奇函数；‎ D．，，也满足，既是奇函数也是偶函数．C正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义判断即可．‎ ‎4．已知，则下列关系式正确的是（ ）‎ A． B． C．. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】与中间值0或1比较．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，，∴，即．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数与对数函数的性质，比较对数与幂的大小，在不同底的幂或对数比较大小时可把它们与中间值比较，如与0，1，2等比较，最后确定结论．‎ ‎5．函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。‎ ‎【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。‎ ‎6．已知全集，集合，集合，则等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定集合的元素，再按集合的运算法则求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，解题时需选确定集合的元素，然后才能根据集合运算法则求解．‎ ‎7．函数（且）的大致图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】按指数函数的性质分类讨论．‎ ‎【详解】‎ C、D中的应满足，但此时，C、D均不满足，C、D均错，A、B中的满足，此时，B不满足，只有A符合．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数的图象与性质．解题时可由函数图象的一部分或一个性质确定参数的取值范围，再考虑函数的另外的性质是否也能满足，不能就排除．本题由A、B中的单调性确定，由C、D中的单调性确定，然后再分析，如用特殊值．‎ ‎8．如果函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先考虑是否满足题意，在时确定，然后由对称轴得出不等关系．‎ ‎【详解】‎ 时，符合题意，‎ 时，，解得．‎ 综上，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，易错点在于忘记讨论这种情况，直接利用二次函数知识求解．‎ ‎9．已知函数（且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间．‎ ‎【详解】‎ 由得，，∴定点为，即，‎ ‎∴，‎ 由得或，‎ 在上递减，在上递增，又，‎ ‎∴的增区间是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数函数的图象与性质，考查对数型复合函数的单调性，对数型函数一定要先求函数的定义域，在定义域内确定单调区间．‎ ‎10．某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0–200千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是（ ）‎ A．210元 B．232元 C．236元 D．276元 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意分档计算电费再相加即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时,该用户9月份应缴电费为:‎ 元.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数模型,读懂题意,分段计算电费是解题关键,属于基础题.‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数，且当时，,则当时，的解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由奇函数定义可求得，然后设时，则，求得后可得．‎ ‎【详解】‎ 是奇函数，∴，，即时，‎ 当时，，，‎ ‎∵是奇函数，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，已知奇偶性求函数解析式，只有根据定义，即要求，先求，若函数是奇函数，只要存在，必有．‎ ‎12．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】关于的方程有三个不同的实根转化为直线与函数的图象有三个交点，作出图象易得结论．‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ ‎∵方程有三个不同的实根，∴直线与函数的图象有三个不同的交点，作出直线与函数的图象，如图，它们有三个交点时，，‎ ‎∴或．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点与方程根分布，由方程根的个数确定参数范围．这类问题解法是把方程的根的个数转化为直线与函数图象交点个数，然后作出直线和函数图象，由数形结合思想得出参数满足的条件．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则的值为__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】时，选用计算，，选用计算。‎ ‎【详解】‎ ‎。‎ 故答案为：9。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数。计算分段函数值时，必须根据自变量的不同取值范围选用不同的表达式计算。‎ ‎14．已知定义在上的偶函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由偶函数的定义把原不等式变为，再由函数的单调性求解。‎ ‎【详解】‎ ‎∵是偶函数，∴可化为，‎ 又是上的减函数，∴，解得。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性把不等式化为，其中在函数的同一单调区间内，由单调性去掉函数符号，同时注意函数的定义域，由此可求解。‎ ‎15．若函数的值域为，则为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分段函数分段求出值域，然后再求并集。‎ ‎【详解】‎ 时，，，∴，‎ 时，，，‎ 综上函数的值域为，即。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求分段函数值域，分段函数值域应该对每一段分别求出值域，然后求并集。‎ ‎16．已知函数为偶函数，且，若不相等的两正数满足，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是偶函数确定的奇偶性，由已知条件确定的单调性，然后由单调性可解不等式．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎∵是偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，是奇函数，‎ 又在上，对任意两不相等的正数满足，‎ 即当时，，在递减，‎ 由是奇函数，得，在上也递减，或不存在，‎ 或，即或，解得或．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性．由奇偶性确定函数在关于原点对称区间上的单调性，由单调性可解函数不等式．‎ 三、解答题 ‎17．求值与化简：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）3.‎ ‎【解析】（1）由幂的运算法则和根式的运算法则计算；‎ ‎（2）由对数运算法则和换底公式计算．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式=. ‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂的运算法则和根式的运算，考查对数的运算法则和换底公式．属于中档题．‎ ‎18．设集合.‎ ‎（1）全集，求；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）求出集合，再按集合运算法则计算；‎ ‎（2）说明，由集合的包含关系列出的不等关系可求解，注意讨论为空集的情形。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎（2）.‎ 当时，. ‎ 当时，依题意得，解得,‎ 综上所述， 的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，属于基础题。‎ ‎19．已知函数为奇函数，且．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；‎ ‎（3）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递减,证明见解析；(3) .‎ ‎【解析】（1）由奇函数可求得，再由求得，最后检验一下是奇函数；‎ ‎（2）由单调性定义证明；‎ ‎（3）由奇函数性质不等式变为，再由单调性去掉符号，然后可解得结论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，为R上奇函数，则，得，再由，得.经检验，当时是奇函数.‎ ‎(2) 由（1）得，在上单调递减,‎ 证明如下：‎ 任取且，则 即 在上单调递减.‎ ‎（3）为奇函数，，则原不等式化为 ‎，而由（2）得在时单调递减，且 ‎，即 ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性，掌握奇偶性和单调性的定义是解题基础。‎ ‎20．某机械制造厂生产一种新型产品，生产的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入成本100元.根据初步测算，当月产量是x件时，总收益（单位：元）为 ，利润=总收益－总成本．‎ ‎（1）试求利润y（单位：元）与x（单位：件）的函数关系式；‎ ‎（2）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，.‎ ‎【解析】（1）月产量是x件时总成本是，用总收益减去总成本即得利润函数；‎ ‎（2）先求出时利润的最大值（由二次函数知识求解），再在时，由函数单调性质确定的范围，从而可得利润最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，‎ 当时.‎ 当时.‎ ‎.‎ ‎（2）当时，∴当时， ‎ 当时， ‎ ‎∴当时.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的实际应用，解题关键是根据提供的模型求出函数解析式，然后利用函数知识求得最大值。‎ ‎21．设a为非负实数，函数.‎ ‎（1）当时，画出函数的草图，并写出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）草图见解析，的增区间为；（2）.‎ ‎【解析】（1）可按和分类去掉绝对值符号后作图，由图象得出单调区间；‎ ‎（2）按和分类去掉绝对值符号后依照（1），得函数单调性，先讨论特殊情形满足题意，在时，因此函数在上有唯一零点，这样在上应无零点，此时最大值应小于0。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的草图.‎ 由图可知函数的增区间为.‎ ‎（2）因为，而则,‎ 若时有唯一零点。符合题意. ‎ 若时在上单调递增，，‎ 在上有唯一零点.而在上单调递增，在上单调递减.‎ 由题意，要使在R上有唯一零点，则在上没有零点，‎ 故在上的最大值 综合上述，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，函数的零点，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后作出得出单调性，由图象得零点的情形。‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求在区间的值域；‎ ‎（2）函数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）确定函数的单调性，得值域；‎ ‎（2）记，题意等价于，换元，设，由对勾函数得的单调性及最小值，是一次函数，最小值易求，从而可得的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）易知在上单调递增，‎ ‎∴值域为. ‎ ‎（2）设，‎ ‎，易知. ‎ 令，则 在上递减，在上递增.‎ ‎.即,‎ 由题意知，，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题，对含有存在量词和全称量词的不等式成立问题需根据题意进行转化，转化为求函数的最值。到底是求最大值还是求最小值与量词是全称量词还是存在量词有关，也与不等式号方向有关。象本题就是，‎ 若本题（2）改为“若存在，对任意的，使得恒成立”则等价于。若改为“若存在，存在，使得成立”则等价于。‎