江西省抚州市临川一中2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题 21页

www.ks5u.com 临川一中2019—2020学年度上学期月考 高一年级数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，再利用补集和交集的定义得出集合.‎ ‎【详解】解不等式，得或；‎ 解不等式，得，解得.‎ ‎，，则，‎ 因此，，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎2.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指对函数的图象与性质即可比较大小.‎ ‎【详解】,‎ ‎∴‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题．‎ ‎3.已知函数在内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值（ ）‎ A. 5次 B. 6次 C. 7次 D. 8次 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设对区间二等分n次,由题意要使零点的近似值满足精确度为0.01,可依题意得,从而解出的值.‎ ‎【详解】设对区间二等分n次，初始区间长度为1,‎ 第1次二等分后区间长度为；‎ 第2次二等分后区间长度为；‎ 第3次二等分后区间长度为；‎ ‎…；‎ 第次二等分后区间长度；‎ 依题意得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 则至少计算中点函数值7次.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了二分法的概念,属于中档题.‎ ‎4.下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用排除法，即可求解．‎ ‎【详解】由，‎ 可排除A、B、C选项，‎ 又由，‎ 所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数是函数的反函数，所以，再求得，再求函数 的定义域，再结合复合函数的单调性求解即可.‎ ‎【详解】解：由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，所以，即，要使函数有意义，则，即，解得，设，则函数在上单调递增，在上单调递减．因为函数在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的反函数的求法及复合函数的单调性，重点考查了函数的定义域，属中档题.‎ ‎6.已知函数的最小正周期为，则该函数图像( )‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期可计算出的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误.‎ ‎【详解】由已知可得，∴，‎ 因为，所以是对称中心，所以A正确；‎ 因为，所以直线不是对称轴，所以B错误；‎ 因为，所以不是对称中心，所以C错误；‎ 因为，所以直线不是对称轴，所以D错误.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】（1）余弦型函数的周期计算公式：，‎ ‎（2）余弦型函数的对称中心求解方法：令，则，即对称中心为；‎ ‎（3）余弦型函数的对称轴求解方法：令，则，即对称轴为：.‎ ‎7.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为函数在上递增,且在上恒成立,再根据对称轴与区间的关系和可得答案.‎ ‎【详解】因为函数在上是减函数,‎ 所以函数在上递增,且在上恒成立,‎ 所以且,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了対数型复合函数的单调性, 将问题转化为函数在上递增,且在上恒成立,是解题关键,本题属于中档题.‎ ‎8.函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案.‎ ‎【详解】由，可得，‎ 故是奇函数，图象关于原点对称，排除A.‎ 当时，；当时，，排除C,D.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.‎ ‎9.已知函数为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A，可得函数的解析式，从而求得．‎ ‎【详解】∵为偶函数，故，所以，‎ 整理得到，‎ 所以对任意的恒成立，所以，即.‎ 因为，故.所以，‎ 将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.‎ 因为最小正周期为，则有＝2π，∴ω＝2，g（x）＝Acos x，f（x）＝Acos2x．‎ 且，故，解得，所以，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．‎ ‎10.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用辅助角公式将函数变形，然后写出向左平移后的函数，由函数图象关于原点对称可知函数为奇函数，由此得到关于的方程，从而确定的最小值.‎ ‎【详解】因为，所以左移个单位后得到函数，‎ 又因为函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数，‎ 所以且，所以，此时.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】（1）三角函数图象的平移也是遵循“左加右减，上加下减”的原则；‎ ‎（2）分析正弦型函数的奇偶性：若为奇函数，则有，若为偶函数，则有.‎ ‎11.已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到函数的周期为6，利用为偶函数，得到，将化成，再比较的大小关系，最后利用函数的单调性得到 的大小关系.‎ ‎【详解】因为，所以的最小正周期，‎ 因为为偶函数，所以，‎ 所以，‎ 因为，，且在(0，3)内单调递减，‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.‎ ‎12.设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算函数的最大值为，得到恒成立，得到不等式，计算得到答案.‎ ‎【详解】奇函数在上是增函数，则 恒成立，即恒成立 将看作为变量，定义域为的函数，则函数最值一定在端点上 即 解得或或 ‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，将看作为变量的函数是解题的关键.‎ 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知角的终边经过点P(4，y)，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数定义求得，结合诱导公式即可求解 ‎【详解】由，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数的基本定义，三角函数诱导公式的使用，属于基础题 ‎14.若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，结合，可解得，即可求解 ‎【详解】由，化简得或（舍去），故，‎ 故答案为1‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题易错点为忽略应舍去的情况，属于基础题 ‎15.函数的值域是R，则a的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为能够取到所有正数,再讨论的系数,利用判别式可得.‎ ‎【详解】因为函数的值域是R,‎ 所以能够取到所有正数,‎ 当时,,只能取到1,不符合题意,舍去,‎ 当时,要使能取到所有正数,必有△=,解得,‎ 当时,抛物线的开口向下,不可能取到所有正数,不符合题意,‎ 综上所述:.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了対数型复合函数的值域, 将问题转化为能够取到所有正数,是解题关键,本题属于中档题.‎ ‎16.定义在上的函数满足，，且当时，，则方程在上所有根的和为______________‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据推出周期,根据，,以及当时，,推出的解析式,根据解析式作出一个周期的图象,再根据周期得到函数在的图象,根据得到的图象关于成中心对称,由图可知8个交点分成4组 关于成中心对称,由对称性可得答案.‎ ‎【详解】因为,而,‎ 所以,即,‎ 所以的图象关于点成中心对称,‎ 当时,, ‎ 当时,,所以,‎ 当时, ,所以,‎ 当时,,所以,‎ 又由,得,‎ 所以,所以的周期为4,‎ 由此可得函数在内的图像和函数的图象,‎ 如图所示:‎ 因为方程在上所有根的和等于函数与函数的交点的横坐标之和,‎ 由图可知,两个函数共有8个交点,这8个交点的横坐标之和为4+4+4+4=16.‎ 故答案为:16‎ ‎【点睛】本题考查了函数的周期性,对称性,数形结合思想,函数与方程思想,找到8个交点的对称性是解题关键,本题属于较难题.‎ 三、本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知全集，集合，，其中为实数 ‎（1）当时，求； ‎ ‎（2）若，求的取值范围 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解指数不等式对集合进行化简，再与进行并集运算；‎ ‎（2）先求，再由，则即可，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 因为集合，‎ 所以；‎ ‎（2）因为，‎ 又因为，‎ 所以，即，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集和补集运算、及由集合间的基本关系求参数的取值范围，考查数形结合思想的运用，求解指数不等式时，注意先把底数化成相同，再利用单调性求解.‎ ‎18.（1）已知，求的值．‎ ‎（2）已知角的终边过点，为第三象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)抓住角的关系:,利用诱导公式求出 ,再根据同角公式即可求得答案;‎ ‎(2)根据已知求出的正余弦值后,代入两角差的余弦公式即可得到答案.‎ 详解】解：（1）由，‎ 得．‎ ‎（2）因为角的终边过点，所以，，‎ 因为为第三象限角，且，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式,同角公式,三角函数的定义,两角差的余弦公式,抓住角的关系是解题关键,本题属于基础题.‎ ‎19.若函数图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相邻两个零点差的绝对值得到半周期，进而求得的值，根据点求得的值，进而求得函数的解析式.‎ ‎（2）根据图像变换的知识求得的解析式，再结合三角函数求值域的方法，求得函数在上的值域.‎ ‎【详解】（1）∵相邻的两个零点差的绝对值为6，‎ 记的周期为，则，‎ 又，∴.‎ ‎∴；‎ ‎∵的图像经过点，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎（2）∵将函数的图像向右平移3个单位后得到函数的图像，‎ 由（1）得，，‎ ‎∴函数的解析式为；‎ 当时，，则.‎ 综上，当时，的值域为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像与性质求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎20.2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其总成本为，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入万元满足 ‎（1）将利润表示为产量万台的函数；‎ ‎（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】(1) (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得总成本函数，然后用求得利润的函数表达式.‎ ‎（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.‎ ‎【详解】（1）由题意得.‎ 因 所以 ‎（2）由（1）可得，当时，.‎ 所以当时，（万元）‎ 当时，，单调递增，‎ 所以（万元）.‎ 综上，当时，（万元）.‎ 所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.‎ ‎21.下图为函数的部分图象，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且为等腰直角三角形.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图象，求的解析式及单调增区间，对称中心.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；增区间：（）；对称中心：（）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点的坐标可得出的值，再根据为等腰直角三角形，可得出点、的坐标，从而求出、的值，由此可得出函数的解析式；‎ ‎（2）根据三角函数变换规律求出函数，然后利用余弦函数的单调性和对称性可求出函数的单调增区间和对称中心的坐标.‎ ‎【详解】（1）由已知点为线段的中点，则，‎ 又为等腰直角三角形，且，，则点，则，‎ ‎，解得，.‎ 将点的坐标代入函数的解析式得，.‎ ‎，，，解得，‎ 因此，；‎ ‎（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数的图象，再向左平移个单位长度，得到函数，‎ 由，得.‎ 令，解得.‎ 因此，函数的单调增区间为，对称中心为.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象求函数解析式以及利用图象变换求函数解析式，同时也考查了三角函数的单调区间和对称中心的求解，解题时要充分注意所求函数对应的函数名称，并结合正弦函数或余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若函数有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）任取，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入中,根据,解出不等式即可；‎ ‎（2）由题,函数有且仅有一个零点,则可得方程有且仅有一个根,然后求出的范围；‎ ‎（3）由条件可得对任意恒成立,求出的最大值和最小值代入该式即可得到的范围 ‎【详解】（1）当时,，‎ 要使函数有意义,则需,即,从而 故函数的定义域为 ‎（2）若函数有且仅有一个零点,‎ 则有且仅有一个根,即,即,‎ 即有且仅有一个根 令,则有且仅有一个正根,‎ 当时,,则,即,成立；‎ 当时,若即时,,此时成立；‎ 若,需,即,‎ 综上，m的取值范围为 ‎（3）若任取,不等式对任意恒成立,‎ 即对任意恒成立,‎ 因为在定义域上是单调减函数,‎ 所以,,‎ 即,‎ 即,则,‎ 所以,即,‎ 又有意义,需,即,‎ 所以,,‎ 所以的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求法,考查函数零点问题,考查不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想和转化思想 ‎ ‎