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- 2021-02-26 发布
数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合，若，则实数的值为____________．
2．函数的定义城为____________．
3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．
4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为_______．
5．已知= ，则的值是____________．
6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．
7．若函数（）的图象向右平移个单位长度后关于原点对称，
则=_______．
8．已知函数，则的值为____________．
9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，且，,则的值为____________．
10．设函数，则不等式的解集为____________．
11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
12．已知，，且，则的最大值为________．
13．如图，在平面四边形中，，，，点为线段的中点．若()，则的值为________．
14．已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围___．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）在中，，A．
（1）求的值； （2）若，求的值．
16．（本小题满分14分）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数m的值； （2）解不等式．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．
求证：（1）直线PA∥平面BDE； （2）平面BDE⊥平面PCD．
18. （本小题满分16分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数，的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时对应的值；
（3）若，求的值．
19．（本小题满分16分）
为了迎接国庆节，某公司欲生产一款节日礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰(如图1)．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成(如图2)．已知圆O的半径为20cm，设∠BAO=θ，，圆锥的侧面积为S cm2．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．当腰AB的长度是多少时，S取得最大值，并求出S的最大值．
20．（本小题满分16分）
已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】
B．[选修4- 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系
【必做题】每题10分，20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．⑴求异面直线与所成角的余弦值；
⑵求二面角的余弦值．
23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．⑴求曲线的方程；
⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．
B．因为， ………………………………………5分
所以． ………………………………………………………10分
C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分
将圆化为普通方程为，
即． ………………………………………………………………6分
圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分
22．（1）因为，则，
所以，， ………………………………………2分
记直线和所成角为，
则，
所以直线和所成角的余弦值为． ………………………………………4分
（2）设平面的法向量为 ，
因为，，
则，取得： ……………………………6分
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，取得： ………………………8分
根据图形可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为； ……………………………………10分
23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点，
则直线的方程为，即，………………………2分
所以，又，
所以，即，
所以的方程为 ………………………………………………4分
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，， ……………………………………………………6分
所以．……………………………………8分
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值
此时．…………………………………………………10分
【证明】（1）连结，因为为平行四边形对
角线的交点，所以为中点．
又因为为的中点，
所以∥． ……………………4分
又因为平面，平面，
所以直线∥平面． …………………………………………6分
（2）因为∥，，所以． ……………………8分
因为，为的中点，所以． …………………10分
又因为平面，平面，，
所以平面． ………………………………………………12分
又因为平面，所以平面平面． ……………14分
17．（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，……………2分
在中，，……………………………4分
所以 ……6分
D
θ
A
B
C
O
E
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
…………8分
设
则，由得：
当时，，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分
20.解：（1），
所以在处的切线为
即： ……………………2分
与联立，消去得，
由知，或. ………………………………4分
（2）
①当时，在上单调递增，且当时，，
，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分
②当时，对恒成立，所以符合题意；
③当时令，得， 当时，，
当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，
综上：. ………………………………10分
(3)当时，由（2）知，
设，则，
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分
令得：，因为， 所以.
令，则 ，
当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，
所以存在符合条件的，且仅有一个. ………………………16分