安徽省合肥市第九中学2019届高三第一次月考数学（文）试卷 21页

2018-2019 高三数学（文）第一次月考试卷 满分 150 分， 考试时间：120 分钟 命题人：奚之青 审题人：王闯生 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. “ ”是“ ”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 实数集 R，设集合 ， ，则 A. B. C. D. 3. 下列命题中错误的是 A. 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“ ”为真命题 B. 命题“若 ，则 或 ”为真命题 C. 命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 且 ” D. 命题 p： ， ，则 为 ， 4. 设 1 1 2 40.6 , 0.5 , lg 0.4a b c   ，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 x 取值范围是 A. B. C. D. 6. 函数 的图象大致是 A. B. C. D. 7. 已知函数 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 8. 下列说法： 集合 用列举法可表示为 ； 集合 是无限集； 空集是任何集合的真子集； 任何集合至少有两个子 集其中正确的有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 9. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 A. B. C. D. 10. 下列结论中正确的是( ) A. “ ”是“ ”的必要不充分条件； B. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” C. “ ”是“函数 在定义域上单调递增”的充分不必要条件； D. 命题 p：“ ， ”的否定是“ ， ” 11. 设 、 是非空集合，定义 ，己知 ， ，则 等于 A. B. C. D. 12. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为 A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知函数 则 ______ ． 14. 若函数 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是______ ． 15. 已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为________． 16. 下列各式中正确的有______ 把你认为正确的序号全部写上 ； 已知 ，则 ； 函数 的图象与函数 的图象关于原点对称； 函数 是偶函数； 函数 的递增区间为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知二次函数 有最小值，不等式 的解集为 ． 求集合 ； 设集合 ，若 ，求实数 的取值范围． 18. 命题 P：函数 有意义，命题 q：实数 x 满足 ． 当 且 为真，求实数 x 的取值范围； 若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 19. 已知函数 ，且此函数图象过 求实数 的值； 考察函数 在区间 上的单调性不必证明； 若 在 上恒成立，求参数 的取值范围。 20. 已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ． 求函数 的解析式； 当 时，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围． 21. 已知函数 ．Ⅰ当 时，求函数 的极值；Ⅱ若 在 上是 单调增函数，求实数 a 的取值范围． 22. 已知函数 Ⅰ当 时，求函数 零点的个数；Ⅱ讨论 的单调性Ⅲ 设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围． 2018-2019 高中数学月考试卷及 答案 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 23. “ ”是“ ”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：若“ ”则“ ”一定成立 若“ ”，则 ， ，即 不一定成立 故“ ”是“ ”的充分不必要条件 故选 B 先判断 与 的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题 p 与命题 q 所表示 的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系． 判断充要条件的方法是： 若 为真命题且 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要 条件； 若 为假命题且 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 为 真命题且 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 为假命题且 为假命题， 则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁 大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系． 24. 实数集 R，设集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 解不等式求得集合 P、Q，再根据补集与并集的定义计算即可． 本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题． 【解答】 解：实数集 R，集合 ， ， 或 ， 或 ． 故选：D． 25. 下列命题中错误的是 A. 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“ ”为真命题 B. 命题“若 ，则 或 ”为真命题 C. 命题“若 ，则 或 ”的否命题为“若 ，则 且 ” D. 命题 p： ， ，则 为 ， 【答案】C 【解析】解：A、若 q 为假，则 为真，故 为真，故 A 正确； B、命题的逆否命题为：若 且 ，则 ，显然正确，故原命题正确，故 B 正确； C、命题“若 ，则 或 ”的否命题应为“若 则 且 ”，故 C 错误； D、根据含有一个量词的命题的否定易得 D 正确． 综上可得：错误的为 C． 故选：C． 逐项分析即可 、根据复合命题的真值易得；B、转化为判断其逆否命题容易判断；C、否命 题也要否定条件；D、由含有一个量词的命题的否定易得． 本题考查命题真假的判断其中 B 项的判断是本题难点，转化为其逆否命题是关键属于基础题． 26. 设 ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查指对数的运算，比较大小． 【解答】 解：由题意 ， ， ， 又由 ， 所以 ． 故选 D． 27. 已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 x 取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题 的关键． 根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可． 【解答】 解： 是偶函数， ， 不等式等价为 ， 在区间 单调递增， ，解得 ． 故选 A． 28. 函数 的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了函数的图象，属于中档题． 从奇偶性、单调性以及特殊值入手，排除不正确选项． 【解答】 解： ，满足 ，为偶函数，排除 A、D， 过 点， ， 当 开始时，函数是增函数，故排除 B， 故选 C． 29. 已知函数 ， ，且 ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： 函数 ， 且 ， ， 、b 在区间 上时， ， ， ． 故选：D． 根据题意，举例说明 a、b 在区间 上满足题意，得出结论． 本题考查了对数函数的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是基础题目． 30. 下列说法： 集合 用列举法可表示为 ； 集合 是无限集； 空集是任何集合的真子集； 任何集合至少有两个子集其中正确的有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】B 【解析】【分析】 此题考查集合的表示，集合的分类，空集及集合的子集、真子集，关键是对相关概念的熟练 掌握． 【解答】 解： 集合用列举法可表示为 ，所以错误； 集合 是无限集，所以正确； 空集是任何非空集合的真子集，所以错误； 任何非空集合至少有两个子集，所以错误． 故选 B． 31. 若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究曲线的切线，根据已知条件，求出切线的斜率 与切点的坐标即可． 【解答】 解：设切点为 ， 因为切线 l 与直线 垂直，故其斜率为 4， 又 的导数为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 l 的方程为 ， 故选 A． 32. 下列结论中正确的是( ) A. “ ”是“ ”的必要不充分条件； B. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” C. “ ”是“函数 在定义域上单调递增”的充分不必要条件； D. 命题 p：“ ， ”的否定是“ ， ” 【答案】D 【解析】【分析】 本题主要考查了命题真假的判断，熟练掌握相关知识点是解决此类问题的关键． 【解答】 解：A 中， ，“ ”能推出“ ”成立，反之不成立，故答案 A 错误； B 中，命题的否命题应为“若 x23x4 0，则 x 4 ”，所以 A 不正确； C 中，当 时，y x2 在定义域上不单调，充分性不成立，所以 B 不正确； D 中，全称命题的否命题是特称命题，所以 D 正确， 故选 D． 33. 设 、 是非空集合，定义 ，己知 ， ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意得， ； 故答案选：A． 【解析】 ； 故选 A 34. 若 是函数 的极值点，则 的极小值为 A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】解：函数 ， 可得 ， 是函数 的极值点， 可得： ． 解得 ． 可得 ， ，函数的极值点为： ， ， 当 或 时， 函数是增函数， 时，函数是减函数， 时，函数取得极小值： ． 故选：A． 求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 35. 已知函数 则 ______ ． 【答案】 【解析】解：由已知得， ，且 ， ． 故答案为： ． 先判断出 的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把 所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用 进行求解． 本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量 的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式 进行求值． 36. 若函数 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】【分析】 根据题意求出函数的导数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因 为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于 0，极小值小于 0， 即可求出答案． 解决此类问题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调区间与函数的极值，并且掌握通过函 数零点个数进而判断极值点与 0 的大小关系． 【解答】 解：由题意可得： ． 令 ，则 或 ，令 ，则 ， 所以函数 的单调增区间为 和 ，减区间为 ， 所以当 时函数有极大值 ，当 时函数有极小值 ， 因为函数 存在三个不同的零点， 所以 并且 ， 解得： ． 所以实数 a 的取值范围是 故答案为 ． 37. 已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为 ________ ． 【答案】 【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性，数形结合思想的应用，由条件，得到函数的大致图形，解不等式， 得到解集． 【解答】 解： 奇函数 在 上为单调递减，且 ， 在 上为单调递减，且 ， 当 时， 当 时， ， ， 同解于 ， 解得 ． 故答案为 ． 38. 下列各式中正确的有______ 把你认为正确的序号全部写上 ； 已知 ，则 ； 函数 的图象与函数 的图象关于原点对称； 函数 是偶函数； 函数 的递增区间为 【答案】 【解析】解： ，故错； 则当 时，可得 ，此时可得 当 时，可得 ，此时 综上可得， 或 故 错； 函数 的 ， 得函数 ，它们的图象关于原点对称，故正确； 考察函数 是偶函数的定义域 ，其不关于原点对称，故此函数是非奇非偶函数， 故错； ：先求函数的定义域： ，解出 ， 所以函数的定义域为： ， 设 ，t 为关于 x 的二次函数，其图象是开口向下的抛物线，关于 y 轴对称 在区间 上 t 随 x 的增大而增大，在区间 上 t 随 x 的增大而减小， 又 的底为 函数 的单调递增区间为 ，故 错． 故答案为 ． 利用指数运算法则进行运算即可； 由 ，结合对数函数 的单调性的考虑，需要对 a 分当 时及 时 两种情况分别求解 a 的范围 根据函数的图象变换进行变换即可判断； 考察函数 是偶函数的定义域即可； 首先，对数的真数大于 0，得 ，解出 ，在此基础上研究真数，令 ，得在 区间 上 t 随 x 的增大而增大，在区间 上 t 随 x 的增大而减小，再结合复合函数的单调 性法则，可得出原函数的单调增区间． 本题主要考查了利用对数函数的单调性求解参数的取值范围，注意分类讨论思想的应用，考 查了同学们对复合函数单调性的掌握，解题时应该牢记复合函数单调性的法则：“同增异减”， 这是解决本小题的关键属于中档题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 39. 已知二次函数 有最小值，不等式 的解集为 ． 求集合 ； 设集合 ，若 ，求实数 的取值范围． 【答案】 ； 【解析】解： 二次函数 有最小值， ， 解不等式 ，得 ， 因此集合 ； ， ，解得 ， 因此实数 的取值范围为 40. 命题 P：函数 有意义，命题 q：实数 x 满足 ． 当 且 为真，求实数 x 的取值范围； 若 是 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】解： 由 得 ， 即 ，其中 ， 得 ， ，则 p： ， ． 若 ，则 p： ， 由 解得 ． 即 q： ． 若 为真，则 p，q 同时为真， 即 ，解得 ， 实数 x 的取值范围 ． 若 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件， 即 是 的真子集． 所以 ，解得 实数 a 的取值范围为 ． 【解析】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将 是 的 充分不必要条件，转化为 q 是 p 的充分不必要条件是解决本题的关键． 若 ，分别求出 p，q 成立的等价条件，利用且 为真，求实数 x 的取值范围； 利用 是 的充分不必要条件，即 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 41. 已知函数 ，且此函数图象过 求实数 的值； 考察函数 在区间 上的单调性不必证明； 若 在 上恒成立，求参数 的取值范围。 【答案】解： 由已知有 ， 所以 ， 解得 在 上单调递减，在 上单调递增； 因为 在 上恒成立， 所以 ， 由 知 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ． 【解析】本题考查函数的解析式的求解及函数的单调性，同时考查恒成立问题． 将 代入函数解析式，即可求 由对勾函数，直接写出单调区间 分离参数即可求解． 42. 已知 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ． 求函数 的解析式； 当 时，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】解： 当 时， ， ， 又 是奇函数， ， 故 分 当 时， 故 ， 得 ． 是奇函数， 得 ． 又 是减函数，所以 恒成立． 令 ， ，则 ， 得 对 恒成立． 解法一：令 ， ， ，解得 ， 解法二： ， 恒成立， 在 单调递减，在 单调递增， ， ． 【解析】 根据奇函数的性质即可求出； 根据函数的单调性和奇函数的性质可得不等式 恒成立， ，问 题转化为得 对 恒成立，根据二次函数的性质即可求出． 本题考查函数的奇偶性，涉及函数恒成立和二次函数区间的最值，属中档题． 43. 已知函数 ．Ⅰ当 时，求函数 的极值；Ⅱ若 在 上是 单调增函数，求实数 a 的取值范围． 【答案】解：Ⅰ 函数 ， 函数 的定义域为 当 时， 当 x 变化时， 和 的值的变化情况如下表： x 1 0 递减 极小值 递增 由上表可知极小值是 Ⅱ由 ，得 若函数 为 上的 单调增函数，则 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立也即 在 上恒成立令 ，则 当 时， ， 在 上为减函数， 的取值范围为 ． 【解析】Ⅰ函数 的定义域为 当 时， ，由此利用导数性质 能求出函数 的单调区间和极值．Ⅱ由 ，得 ，令 ， 则 由此利用导数性质能求出 a 的取值范围． 本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用． 44. 已知函数 Ⅰ当 时，求函数 零点的个数；Ⅱ讨论 的单调性Ⅲ 设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】解：Ⅰ 时， ，原函数定义域为 ， 恒成立， 函数 在 单调递增． 且 ，函数 零点的个数为 1．Ⅱ原函数定义域为 ， ，设 由题意知 ， ． 即 时， 函数 在定义域 内为单调增函数， ，时，函数 在 ， 内为单调增函数，在 递减．Ⅲ 原命题等价于 在 上有解， 设 ， ， 是增函数， 分 ，解得 ， 的取值范围是 【解析】Ⅰ Ⅰ 时， ，原函数定义域为 ， 恒成立 函数 在 单调递增且 ，函数 零点的个数为 1．Ⅱ ，设 分类讨论，从而求得参数的范围，Ⅲ原命题等价于 在 上有解，设 ，只需 即可． 本题考查了导数求函数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对 数学思维的要求比较高，属于难题．