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- 2021-02-26 发布
第9讲 对数与对数函数
考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用(B级要求)；2.对数函数的概念、图象与性质(B级要求)；3.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数(A级要求).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，即－x2＋2∈(0，2]，故所求函数的值域为.
答案
4.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a>b>0，0b>0，∴logca0，得0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
a>1
01时，y>0；
当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
(2)(2018·淮阴中 期中)求值：27－()2－2log23×log2＋log23×log34.
(1)解析 由已知得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
答案
(2)解 27－()2－2log23×log2＋log23×log34
＝(33)－(－5)2－3×log22－3＋×
＝9－25－3×(－3)＋2＝－5
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，
在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)(2017·无锡期末)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为________.
(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－＝________.
解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
(2)lg＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
答案 (1)24 (2)－1
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2017·苏北三市第三次模拟)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________.
(2)(2018·苏、锡、常、镇调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由题设可得
即化简可得xB＝2，logaxB＝2，所以a2＝2，故a＝(负值舍去).
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.
答案 (1) (2)(1，＋∞)
规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.在x轴上方，底数a越大，图象越靠近x轴.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是________(填序号).
(2)(2018·宿迁模拟)当01时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是.
答案 (1)③ (2)
考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度1 比较大小
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷改编)若a>b>0，0cb.
其中正确的关系式是________(填序号).
解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，③，④不正确.
∵y＝logcx是减函数，得logca3－log32，解集为(3－log32，＋∞).
(2)log5(x－1)<，∴log5(x－1)1；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2x2＝0有且仅有一解，求a的值；
(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，由log2>1，得＋1>2，
解得00，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，
所以t＝时，y有最小值，为a－，由a－≥0，得a≥.故a的取值范围为.
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系是________.
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)a＝log32log22＝1，
所以c最大.
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在.
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)c>a>b (2)
一、必做题
1.(2017·如东高级中 第二次 情调研)函数f(x)＝的定义域为________.
解析 由题设可得解之得x<3且x≠2，所以答案为(－∞，2)∪(2，3).
答案 (－∞，2)∪(2，3)
2.(2017·泰州中 第二次质量检测)“x>1”是“log(x＋2)<0”的________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填写).
解析 由x>1得x＋2>3，所以log(x＋2)<0，
由log(x＋2)<0可得x＋2>1，即x>－1，
所以“x>1”是“log(x＋2)<0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
3.(2018·淮阴中 期中)已知函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________.
解析 易知点A(2，0)，又因为点A在函数f(x)＝2x＋b的图象上，所以22＋b＝0，∴b＝－4，所以f(x)＝2x－4，则f(log23)＝2log23－4＝3－4－＝－1.
答案 －1
4.(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________.
解析 由图象可得解得则a＋b＝.
答案
5.(2018·南京、盐城模拟)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1，
又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
∴f >f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p，
故p＝rf(－a)，则实数a的取值范围是________.
解析 当a>0，即－a<0时，由f(a)>f(－a)知log2a>loga，在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝logx的图象(图略)，由图象可得a>1；当a<0，即－a>0时，同理可得－10得x<－4或x>2，则A＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，
当m＝－4时，g(x)＝x2－3x－4，由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，则B＝[－1
，4].
所以A∩B＝(2，4].
(2)存在x∈使得不等式x2＋(m＋1)x＋m≤－1成立，即存在x∈使得不等式－m≥成立，所以－m≥.
＝x＋＝x＋1＋－1≥1，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时取等号.
所以－m≥1，解得m≤－1.
二、选做题
11.(2017·镇江期末)不等式logax－(ln x)2<4(a>0，且a≠1)对任意x∈(1，100)恒成立，则实数a的取值范围为________.
解析 ∵不等式logax－(ln x)2<4，∴<(ln x)2＋4，
令t＝ln x，∵x∈(1，100)，∴t＝ln x∈(0，ln 100)，
∴1时，ln a>0，
故ln a>在t∈(0，ln 100)上恒成立，
令g(t)＝，t∈(0，ln 100)，
则g′(t)＝，
令g′(t)>0，解得02，
故g(t)在(0，2)上递增，在(2，ln 100)上递减，
故g(t)≤g(2)＝，故ln a>，解得a>e，
故实数a的取值范围为(0，1)∪(e，＋∞).
答案 (0，1)∪(e，＋∞)
12.(一题多解)(2018·江苏运河中 一诊)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________.
解析 法一 由f(m)＋f(2n)＝3得log2[(m－2)(2n－2)]＝3⇒(m－2)(2n－2)＝23，
即(m－2)(n－1)＝4，由已知得m>2，n>1，由基本不等式得≥4(当且仅当m－2＝n－1＝2，即m＝4，n＝3时等号成立)，
从而m＋n≥7.故m＋n的最小值是7.
法二 同上得(m－2)(n－1)＝4，由 已知得m>2，n>1，所以m＝＋2，m＋n＝＋2＋n＝＋n－1＋3≥2＋3＝4＋3＝7，当且仅当＝n－1时，等号成立，此时n＝3，m＝4.
答案 7