数学理卷·2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试（2017 15页

深圳市2017年高三年级第一次调研考试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则 （ ）‎ A． 2 B． 3 C．-2 D．-3‎ ‎3. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.等比数列的前项和为，则 （ ）‎ A．-3 B． -1 C. 1 D．3‎ ‎5.直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 函数的图象大致是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.已知，下列不等关系中正确的是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A． 335 B．336 C. 337 D．338‎ ‎10.已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段与相交于点，记点到的两条渐近线的距离之积为，若，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．2 C. 3 D．4‎ ‎11. 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数为自然对数的底数，关于的方程有四个相异实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.已知向量，若，则 ．‎ ‎14. 的二项展开式中，含的一次项的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎15.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数 ．‎ ‎16.已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求的面积的最大值．‎ ‎18. 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值．‎ ‎19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.‎ ‎（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；‎ ‎（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；‎ ‎（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望．‎ ‎20. 已成椭圆的左右顶点分别为，上下顶点分别为，左右焦点分别为，其中长轴长为4，且圆为菱形的内切圆．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点为轴正半轴上一点，过点作椭圆的切线，记右焦点在上的射影为，若的面积不小于，求的取值范围．‎ ‎21. 已知函数为自然对数的底数．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；‎ ‎（3）关于的方程有两个实根，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中中，已知曲线经过点，其参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线交于点，且，求证：为定值，并求出这个定值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，记关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 14. -5 15. 3 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:（1）由已知及正弦定理可得，‎ 在中，， ∴，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）解法：由（1）知，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴（当且仅当时等号成立），‎ ‎∴；‎ 解法二：由正弦定理可知，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当，即时，取最大值.‎ ‎18.解：（1）证明：连接，‎ ‎∵四边形为菱形，‎ ‎∵，‎ 在和中，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）解法一：过作垂线，垂足为，连接，‎ 易得为与面所成的角，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 可求得，‎ 在中由余弦定理可得：，‎ ‎∴二面角的余弦值为；‎ 解法二：如图，在平面内，过作的垂线，交于点，‎ 由（1）可知，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴直线两两互相垂直，‎ 分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 易得为与平面所成的角，∴，‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量为，则 且，‎ ‎∴，且 取，可得平面的一个法向量为，‎ 同理可求得平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ ‎19.解析：（1）当时，；‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以与之间的函数解析式为：；‎ ‎（2）由（1）可知：当时，，则，‎ 结合频率分布直方图可知：，‎ ‎∴；‎ ‎（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550.‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 当时，，∴，‎ 故的概率分布列为：‎ ‎25‎ ‎75‎ ‎140‎ ‎220‎ ‎310‎ ‎410‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.05‎ 所以随机变量的数学期望 ‎.‎ ‎20.解：（1）由题意知，所以，‎ 所以，则 直线的方程为，即，‎ 所以，解得，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）由题意，可设直线的方程为，‎ 联立消去得，（*）‎ 由直线与椭圆相切，得，‎ 化简得，‎ 设点，由（1）知，则 ‎，解得，‎ 所以的面积，‎ 代入消去化简得，‎ 所以，解得，即，‎ 从而，又，所以，‎ 故的取值范围为.‎ ‎21.解（1）对函数求导得，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，即；‎ ‎（2）记，其中，‎ 由题意知在上恒成立，下求函数的最小值，‎ 对求导得，‎ 令，得，‎ 当变化时，变化情况列表如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎∴，‎ ‎∴，‎ 记，则，‎ 令，得．‎ 当变化时，变化情况列表如下：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 ‎∴，‎ 故当且仅当时取等号，‎ 又，从而得到； ‎ ‎（3）先证，‎ 记，则，‎ 令，得，‎ 当变化时，变化情况列表如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎∴，‎ 恒成立，即，‎ 记直线分别与交于，‎ 不妨设，则，‎ 从而，当且仅当时取等号，‎ 由（2）知，，则，‎ 从而，当且仅当时取等号，‎ 故，‎ 因等号成立的条件不能同时满足，故．‎ ‎22.解：（1）将点代入曲线的方程：，‎ 解得，‎ 所以曲线的普通方程为，‎ 极坐标方程为，‎ ‎（2）不妨设点的极坐标分别为，‎ 则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 所以为定值．‎ ‎23.解：（1）依题意有：，‎ 若，则，∴，‎ 若，则，∴，‎ 若，则，无解，‎ 综上所述，的取值范围为；‎ ‎（2）由题意可知，当时，恒成立，‎ ‎∴恒成立，‎ 即，当时恒成立，‎ ‎∴．‎