- 349.50 KB
- 2021-02-26 发布
东海高级中学 2013 届高三理科数学第一学期期中试
题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸填空题的相
应答题线上．）
1.若集合 ，函数 的定义域为 ，则
▲ .
2. 将函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数
的图象，则 的解析式为 ▲ .
3. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为 ▲ .
4. 给出下列命题，其中正确的命题是 ▲ (填序号)．
①若平面 上的直线 m 与平面 上的直线 n 为异面直线，直线 l 是 与 的交线，那么 l
至多与 m，n 中的一条相交；
②若直线 m 与 n 异面，直线 n 与 l 异面，则直线 m 与 l 异面；
③一定存在平面 同时与异面直线 m，n 都平行．
5. 函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ＞2，则 ＞ 的
解集为_▲ ．
6. 在锐角 中，若 ，则 的取值范围是 ▲ .
7. 已知向量 ， 的夹角为 45°，且 ， ，则 =____▲______．
8. 如图，在正方体 中，给出以下四个结论：
① ∥平面 ；② 与平面 相交；③AD⊥平
面 ；④平面 ⊥平面 ．
其中正确结论的序号是 ▲ ．
9. 设定义在区间 上的函数 是奇函数 ，则
的取值范围是 ▲ .
2{ | 0}M x x x= − ≤ 2( ) log (1 | |)f x x= − N M N =
)63cos(2)(
π+= xxf 4
π
)(xg )(xg
a b 3
π
2|| =a a b
α β α β
γ
)(xf R 2)1( =−f Rx ∈ )(' xf )(xf x2 4+
ABC∆ BA 2=
b
a
a b 1|| =a 10|2| =− ba || b
1 1 1 1ABCD A B C D−
1D C 1 1A ABB 1 1A D 1BCD
1D DB 1BCD 1 1A ABB
( ),b b− ( ) 1lg1 2
axf x x
+= − ( ), , 2a b R a∈ ≠ −且 ba
A B
CD
D1
A1 B1
C1
10. 已知 是锐角 的外接圆的圆心，且 ，若 ，
则 = ▲ ．（用 表示）
11. 正三棱锥 中， ， ， 分别是棱 上的点， 为
边 的中点， ，则三角形 的面积为______▲_______．
12. 若函数 在区间 上有最大值 ，则 的值是 ▲ .
13. 设 是自然数集的一个非空子集，对于 ,如果 ，且 ,那么 是 的
一个“酷元”，给定 ，设集合 M 由集合 S 中的两个元素构成，且
集合 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 有 ▲ .
14. 某同学为研究函数 的性质，
构造了如图所示的两个边长为 的正方形 和 ，点 是边
上的一个动点，设 ，则 ．则可推知函数
的零点的个数是 ▲ .
二、解答题
15.( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 集 合 ， 集 合
，
集合 .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16．(本题满分 14 分)在 中，内角 对边的边长分别是 ，且满足
， .
（1） 时，若 ，求 的面积；
O ABC∆ A θ∠ = cos cos
sin sin
B CAB ACC B
+ = 2mAO
m θ
S ABC− 2BC = 3SB = D E、 SA SB、 Q
AB SQ CDE⊥ 平面 CDE
)0(22 ≠−= aaxaxy ]3,0[ 3 a
A k A∈ 2k A∉ k A∉ k A
{ }2lg(36 )S x N y x= ∈ = −
M M
( ) ( ) ( )221 1 1 0 1f x x x x= + + + − ≤ ≤
1 ABCD BEFC P
BC CP x= ( )f x AP PF= +
( ) ( )5 11g x f x= −
}145|{ 2 −−== xxyxA
)}127lg(|{ 2 −−−== xxyxB
}121|{ −≤≤+= mxmxC
A B
ACA = m
ABC△ A B C， ， a b c， ，
2 2 4a b ab+ = +
3C
π=
2A
π≠ sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = ABC△
F
E
P
D C
BA
（2）求 的面积等于 的一个充要条件.
17.(本题满分 15 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝ ，AB＝
2，PA＝1，PA⊥平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点．
（1）求证：BE∥平面 PDF；
（2）求证：平面 PDF⊥平面 PAB；
（3）求三棱锥 P－DEF 的体积．
18. (本题满分 15 分)如图，在边长为 1 的正三角形 中， 分别是边 上的点，
若 ， ．设 的中点为 ， 的中点为 ．
⑴若 三点共线，求证 ；
⑵若 ，求 的最小值.
ABC△ 3
60°
ABC ,E F ,AB AC
,AE mAB AF nAC= = , (0,1)m n∈ EF M BC N
, ,A M N m n=
1m n+ = | |MN
A
B C
E
F
M
N
19. （本题满分 16 分）已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，设
.
（1）当 取得最小值时，求 的大小；
（2）当 时，记 ，试求 的表达式及定义域；
（3）在（2）的条件下，是否存在向量 ，使得函数 的图象按向量 平移后得
到函数 的图象？若存在，求出向量 的坐标；若不存在，请说明理由.
20、（本题满分 16 分）已知函数 .
（1）若 时, 恒成立，求实数 的取值范围；
2 2( , ) sin 2 cos 2f A B A B= +
3 sin 2 cos 2 2A B− − +
( , )f A B C
2C π= ( ) ( , )h A f A B= ( )h A
p ( )h A p
( ) 2cos2g A A= p
ax
axaxxxf axx <
≥
×−
+−= − ,
,
244
1)(
2
ax < 1)( )2,0( at ∈
)2,0(,1)( attttg ∈−= 011)(' 2
>+=
ttg
tttg 1)( −= )2,0( a
a
aagtg 2
12)2()( −=<
a
a
a 2
122
4 −≥
a
a 22
5 ≥⇒ 5)2( 2 ≤⇒ a 52 ≤⇒ a
5log2≤⇒ a
ax ≥ 1)( 2 +−= axxxf 41)2()(
2
2 aaxxf −+−=
02
≥⇔≤ aaa )(xf ),[ +∞a
1)()( min == afxf
042
<≤−⇔> aaa )(xf )2,[ aa
),2( +∞a
41)2()(
2
min
aafxf −==
ax ≥
≥
<≤−−=
0,1
04,41)(
2
min
a
aa
xf
ax < axxxf −×−= 244)( tx =2 )2,0( at ∈
aaa tttth 4
4)2
2(2
4)( 22 −−=−=
2
12222
20 2 >⇔>⇔<< aaa
a )(th )2
2,0( a )2,2
2( a
a
aahth 4
4)2
2()( min −==
2
12222
2 2 ≤⇔≤⇔≥ aaa
a )(th )2,0( a
所以,此时, 在 上无最小值; ---------------------------------------------11 分.
所以由③④可得当 时有:当 时, ;
当 时,无最小值.----------------- -------------12 分.
所以,由①②③④可得:
当 时，因为 ,所以函数 ;---------------------------13 分.
当 时， 因为 ，函数 无最小值; --------------------------------14 分.
当 时， ，函数 无最小值.--------- ----------------15 分.
综上所述，当 时，函数 有最小值为 ；当 时，函数 无最
小值．
所以函数 在实数集 上有最小值时，实数 的取值范围为 .---------16 分.
)0,44())0(),2(()( −=∈ aa hhth
)(th )2,0( a
ax <
2
1>a athxf 4
4)()( minmin −==
2
1≤a
2
1>a 14
4 <−
a axf 4
4)( min −=
2
10 ≤≤ a 1044 <<−a )(xf
04 <≤− a 41344
2aa −≤−<− )(xf
2
1>a )(xf a4
4−
2
14 ≤≤− a )(xf
)(xf R a ),2
1( +∞