【数学】广西柳州二中2019-2020学年高二下学期6月月考（理） 12页

广西柳州二中2019-2020学年高二下学期6月月考（理）‎ 一、单选题（共12小题，60分）‎ ‎1．已知集合，，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．若是虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设是两个平面，是两条直线，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4．在中，，，，则在方向上的投影是（ ）‎ A．4 B．3 C．-4 D．-3‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．展开式中的系数为（ ）‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎7．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎8．圆内的曲线与轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，其中，若将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )‎ A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3‎ ‎12．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）‎ A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）‎ 二、填空题（共4小题，20分）‎ ‎13．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.‎ ‎14．若实数满足约束条件，则的最大值为________.‎ ‎15．均为锐角，且，则的最小值是________.‎ ‎16．已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．‎ ‎(1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎18．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．‎ ‎（Ⅰ）求Sn和Tn；‎ ‎（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．‎ ‎ ‎ ‎19．如图，已知多面体中，为菱形，，平面，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：‎ 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；‎ 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和 ‎（Ⅰ）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？‎ ‎（参考数据：）‎ ‎21.在平面直角坐标系中，，，设直线、的斜率分别为、且 ，‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过作直线交轨迹于、两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C ‎13．8 14．1 15． 16．.‎ ‎2．【解析】，‎ 所以.‎ ‎4．【解析】如图所示，‎ ‎，，又，，‎ 在方向上的投影是：，‎ ‎5．【解析】由题意，‎ ‎∴．‎ ‎6．【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.‎ ‎7．【解析】从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，‎ 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，‎ 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．‎ ‎∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．‎ ‎8．【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为，‎ 曲线与轴围成的区域记为M的面积为，‎ 随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率，‎ ‎9．【解析】函数平移后所得函数为，因为为偶函数，所以，解得，所以，令，解得，‎ ‎10．【解析】根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，‎ 这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率.‎ ‎11．【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，，设，故，因为，解得，故该球的半径，所以.‎ ‎12．【解析】首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.‎ ‎13．【解析】∵ 直线过抛物线的焦点，且斜率为1‎ ‎∴直线的方程为 设，，抛物线的焦点为∴根据抛物线的定义可得：联立方程组，化简得∴∴‎ ‎14．【解析】作出可行域，如图内部（含边界），目标函数表示可行域内点与定点连线的斜率，由图可知，的最大值就是．‎ ‎15． 【解析】由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，‎ 同时除以cosαcosβ，可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，‎ 则tanαtanβ=，‎ 又=2=．‎ ‎16【解析】 ，所以解得 在△ 中，根据余弦定理可得 ‎ 代入得 化简得 ‎ 而 ，所以的最小值为.‎ ‎17．【解析】（1），，‎ ‎∵，，∴．由正弦定理可知.‎ ‎（2）∵，，∴．‎ 设，则，在△与△中，由余弦定理可知，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，解得，即．‎ ‎18．【解析】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．‎ 因为，可得，故．所以，．‎ 设等差数列的公差为．由，可得．‎ 由，可得从而，故，所以，．‎ ‎（II）由（I），有 由,可得，‎ 整理得解得（舍），或．所以n的值为4．‎ ‎19．【解析】（1）证明：∵，∴四点、、、共面.‎ 如图所示，连接，，相交于点，‎ ‎∵四边形是菱形，∴对角线，‎ ‎∵平面，∴，又，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 平面，∴平面平面.‎ （2） 取的中点，∵，，‎ ‎∴是等边三角形，∴，又，‎ ‎∴，以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，.‎ ‎，，，.‎ ‎∵.∴，解得.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，∴，取.‎ 同理可得：平面的法向量.∴.‎ 由图可知：二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.‎ ‎20.【解析】（1）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为：‎ ‎（万元），‎ 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为：‎ ‎（万元），‎ 又， ‎ ‎， ‎ 所以，，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．‎ 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． ‎ （2） 假设年后总资产可以翻一番，依题意：，即，‎ 两边取对数得：．所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番．‎ ‎21．【解析】（1）由题意，设，则，，‎ 又由，整理得，‎ 由点不共线，所以，所以点的轨迹方程为.‎ ‎（2）设，，易知直线不与轴重合，设直线，‎ 联立方程组，整理得得，‎ 易知，且，‎ 由，故，即，‎ 从而，解得，即，‎ 所以直线的方程为或．‎ ‎22.【解析】，.‎ 则曲线在点处的切线的斜率为.‎ 又，所以切线方程为.‎ ‎（2）由函数，‎ 则，其中.‎ 当时，因为，所以.‎ 所以函数在上单调递增，故.‎ 当时，令，得.‎ 若，则，所以函数在时，‎ ‎，不符合题意.‎ 综上，的取值范围是.‎