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- 2021-02-26 发布
广东省佛山市南海区2021届高三8月摸底测试
数学试卷
2020．8
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝，则AB＝
A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2}
2．已知向量＝(1，m)，＝(3，﹣2)，且⊥，则m＝
A．8 B．6 C．﹣6 D．﹣8
3．的展开式中，含项的系数是
A．1 B．3 C．6 D．10
4．曲线在点M(，0)处的切线方程是
A． B． C． D．
5．复数与的积是实数的充要条件是
A． B． C． D．
6．若，是第三象限的角，则＝
A． B． C．2 D．﹣2
7．设是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递增，则
A． B．
C． D．
8．当使用一仪器去测量一个高度为70单位长的建筑物50次时，所得数据为
测量值
68单位长
69单位长
70单位长
71单位长
72单位长
次数
5
15
10
15
5
根据此数据推测，假如再用此仪器测量该建筑物2次，则2次测得的平均值为71单位长
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的概率为
A．0.04 B．0.11 C．0.13 D．0.26
9．a，b两条异面直线成60°角，过空间中的任一点 A可作出与a，b都成的45°角的平面的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
10．过点P(1，3)的动直线交圆C：于A，B两点，分别过A，B作圆C的切线，如果两切线交于点Q，那么点Q的轨迹是
A．直线 B．直线的一部分 C．圆的一部分 D．双曲线的一支
二、 多项选择题（本大题共2小题，每小题5分， 共计10分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
11．如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域是[0，)，若满足，且当x[0，]时，，则
A． B．
C．有一单调增区间是(，) D．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程是，则此双曲线的离心率为 ．
14．等比数列中，，，，则＝ ，＝ ．
15．连续投掷一枚均匀硬币，或者正面出现n次或者背面只要出现一次，就算比赛结束，则比赛结束时出现正面的次数的数学期望是 ．
16．有3个12cm×12cm的正方形，如图
16—1所示，连结相邻两边的中点，把
9
每一正方形分割成A与 B两块，然后
如16—2所示，将这6块粘附在一个正
六边形上，再折叠成一个多面体，则这
个多面体的体积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a＝3，b＝，B＝2A．
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
18．（本小题满分12分）
已知为数列的前n项和，且，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对，，求数列的前2n项和．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PC中点，PF＝2FD．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D—AC—F的正切值；
（3）求证：BE∥平面AFC．
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20．（本小题满分12分）
高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，有一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机的成年人约50万人次，为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取了100人次作样本，得到下表（单位：人次）
老年人
中年人
青年人
满意度
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
乘坐高铁
乘坐飞机
10分（满意）
12
1
20
2
20
1
5分（一般）
2
3
6
2
4
9
0分（不满意）
1
0
6
3
4
4
（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在这一年从A市到B市乘高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；
（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机?并说明理由．
21．（本小题满分12分）
椭圆C：的左焦点为F，设点M的坐标为(，0)，过M作一斜率不为0的直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，且点Q关于x轴的对称点Q′．
（1）求证P，F，Q′三点共线；
（2）当△MPQ′的面积S取得最大值时，求直线l的方程．
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22．（本小题满分12分）
已知．
（1）若x≥0时，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）求证：当x＞0时，．
参考答案
1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C
9．B 10．B 11．AD 12．BCD
13． 14．，﹣21 15． 16．864
17．解：（1）由正弦定理得：，
因为B＝2A，所以，
故，
（2）由，得，
因为A是三角形内角，sinA＞0，所以，
所以sinB＝sin2A＝2sinAcosA＝，
cosB＝cos2A＝1﹣2sin2A＝，
所以sinC＝sin[π﹣(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
9
＝，
所以，即c的值为5．
18．
19．
9
20．
9
21．
9
22．
9