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- 2021-02-26 发布
命题人： 审核人： 审定人：
南城中学2013届高三第四次月考试卷
数学（理科）
2012.12
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意：考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，只交回答题卡．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，集合, 则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中，假命题为（ ）
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．若R，且则至少有一个大于1
C．对于任意都是偶数
D．的充分必要条件是
4．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
开始
S=4
i=1
i=i+1
结束
是
否
输出S
A． B． C． D．4
5．图甲
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
环数
环数
频数
频数
1
1
2
2
3
3
图乙
甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
高三数学（理科）试卷 第1页 共4页
6．函数在区间内的图象是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足.当时，，当时，．则（ ）
A．335 B．338 C．1678 D．2012
8．5位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知5位同学之间共进行了8次交换，则收到3份纪念品的同学人数为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题.）
A
B
C
M
（一）必做题：第9~13题为必做题。
9．函数的定义域为
10．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________
11．在的二项展开式中，常数项等于 ___
12．已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________
13．小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆经过点，
圆心为，则圆的极坐标方程为
15．（几何证明选讲选做题）如图，过点P的直线与圆O相交于A，
高三数学（理科）试卷 第2页 共4页
B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_______．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
函数（）的最大值为3，其图像相邻两个最高点
之间的距离为，
（1）求函数的解析式；
（2）设，则，求的值．
17．（本小题满分12分）
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目
的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有
55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目
时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于
40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女
性。
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
参考公式和数据:
① 随机变量,其中为样本容量；
② 独立检验随机变量的临界值参考表：
0.05
0.010
3.841
6.635
高三数学（理科）试卷 第3页 共4页
18．（本小题满分14分）
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴．
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
19．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，．
（1）求证平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，已知(n∈N*)．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．
求证：当n∈N*且n≥2时，.
21．（本小题满分14分）
若函数定义域为，满足对任意，有，则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，有，则称为“对数形函数”．
（1）当时，判断是否为形函数，并说明理由；
（2）当时，证明：是对数形函数；
高三数学（理科）试卷 第4页 共4页
（3）若是形函数，且满足对任意，有，问是否为对数形函数？证明你的结论．
南城中学2013届高三第四次月考理科数学参考答案
一、BADC；CDBA
二、9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、
16、（1）由题意，得，∴，………………2分
∵函数图像的相邻两个最高点之间的距离为，
∴最小正周期，∴。………………4分
故函数的解析式为。…………5分
（2）∵，即，………………6分
∵，∴，…………7分
∴，，………………10分
故…………12分
（或）∵，∴，∴，……9分
故…………12分
17解（1）
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算，得 ……3分
因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分
（2）由频率分布直方图知，“超级体育迷”有5人，表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2，从而一切可能的结果所组成的基本事件有：，，，，，，，，，等10个基本事件组成，………………10分
其中“从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众”组成的基本事件有：，，，，，，等7个随即事件，………………11分
所以从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众的概率为.…………12分
18：解：（1）因，故…………3分
∵曲线在点处的切线垂直于轴，∴该切线斜率为0，即，……5分
从而，解得………………6分
（2）由（1）知（），
………………7分
令，解得，或（舍去），……9分
当时，，故在上为减函数；………………11分
当时，，故在上为增函数；……………13分
故在处取得极小值。……………………14分
19、（1）因为四边形为等腰梯形，，，
∴．又，∴
∴，，…………3分
又，且，，平面，………………5分
∴平面．………………6分
（2）由（1）知，所以，又平面，
因此 ，，两两垂直．以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，
，，，
∴，．……………………9分
设平面的一个法向量为，则，
∴，取，则………………………………11分
又平面的法向量可以取为，………………12分
∴，……………………13分
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为…………14分
（传统方法）取的中点，连结，由于，所以．
又平面，平面，所以．由于，平面，所以平面，故．
所以为二面角的平面角．………………………………11分
在等腰三角形中，由于，
因此，又，所以，故,
因此 二面角的余弦值为．……………………14分
20、解（1）由，得（）
两式相减，得，即（）
于是，所以数列是公差为1的等差数列. …………5分
又，所以.
所以，故. ……………6分
（2）因为，则当n≥2时，
. ……………9分
下面证
令，则，
∴在时单调递增，，即当时，
令，，可得
，，……，
以上个式相加，即有
∴ ……………14分
21解：（1）…………1分
∴不满足对任意，有…………2分
∴当时，不是“ 形函数”………………3分
(2) 的定义域为，且>0…………4分
－=……6分
∴……8分
∴对任意，有
∴是对数形函数…………9分
（3）为对数形函数
证明：
…………11分
，∴，
即，从而
∴，∴
∴为对数形函数……………………14分