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- 2021-02-26 发布
数学（文科）试题
（考试时间：150分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知,则复数在复平面上所对应的点在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（ ）
A.522
B.324
C.535
D. 578
5.函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A B. C. D.
（8题图） （9题图）
9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点在俯视图上的对应点为，则与所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
11．已知奇函数对任意都有，现将图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断错误的是（ ）
A．函数在区间上单调递增 B．图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．图象关于点对称
12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，是偶函数，，则不等式的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题 共90分）
一、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13.已知函数，则 。
14.若实数满足约束条件，则的最小值为 ．
15.在锐角中，内角所对的边为，，，则的最大值为 。
16.如图，在直角梯形中，,,，，为中点，现将沿折起，使得平面平面,连接,设为中点，动点在平面和平面上运动，且始终满足,则点形成的轨迹长度为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，，且依次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某校高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分),现有甲、乙两位同学的20次成绩如下列茎叶图所示:
（1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;
（2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
（3）现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,设事件为“其中2个成绩分别属于不同的同学”,求事件发生的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点作斜率为的直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）求面积的取值范围。
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在处的切线方程为，求，的值；
（2）若，，求函数的零点的个数.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数).
（1）若，求曲线的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程;
（2）设点，曲线与直线l交于两点，求的最小值.
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
高三文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
D
A
A
C
B
D
B
C
A
二、 填空题:
13、 14、 15、 16、
三、 解答题:
17. （1） （2）
解：（1）设等差数列的公差为
由得
即……………………………………（2分）
由成等比数列，得……………………………………（3分）
即，解得……………………………………（4分）
……………………………………（6分）
（2） =…………………（8分）
……………………………………（12分）
18.（1）甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128,
…………………………（4分）
（2）从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.……………………………………（4分）
（3）甲同学的不低于140分的成绩有2个,设为乙同学的不低于140分的成绩有3个,设为,现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有:共10种,其中2个成绩分属不同同学的情况有:共6种,因此事件A发生的概率.……………………………………（4分）
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接，设，连接.…………………………（1分）
因为四边形是菱形，
所以点是的中点.…………………………………………………………（2分）
又因为是的中点，所以是三角形的中位线，
所以，……………………………………………………………………（3分）
又因为平面，平面，
所以平面.…………………………………………………………（5分）
（2） 因为四边形是菱形，且，
所以.
又因为，所以三角形是正三角形.……………………………（6分）
取的中点，连接，则.…………………………………（7分）
又平面平面，
平面，
平面平面，
所以平面.…………………………………………（9分）
在等边三角形中，
.而的面.所以.……………………………（12分）
20.（1）；（2）
解：（1）点A到准线距离为：，到焦点距离，………………（2分）
所以，，………………（4分）
（2）将代入抛物线，，
设直线，设，联立方程：
…………（6分）
恒成立
………………………………………………（8分）
连接AF，则
…………………………………（10分）
当时，有最小值为
当时，有最大值为
所以答案………………………………（12分）
21.解析:（1）的导数为，…………………（1分）
，，解得………………（4分）
（2），易得有一个零点为………………（5分）
令，
（Ⅰ）若，则，无零点，所以函数只有一个零点；………（6分）
（Ⅱ）若，则
① ，则所以单调递增，而，，
所以有一个零点，所以有两个零点；………………………………………（8分）
① ，由，知，，所以在单调递减，
在单调递增；所以函数的最小值为…（9分）
（ⅰ）当即时，，所以无零点，所以函数只有一个零点
（ⅱ）当时，即，所以有一个零点，所以函数有两个零点
（ⅲ）当时，即时，，所以有两个零点，所以函数有三个零点………………………………………………………………（11分）
综上，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个点………………………………（12分）
（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）
22.（1）曲线C: ，将.代入得x2+y2-6x＝0
即曲线C的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9.
直线l: ，(t为参数)，所以x＝2，故直线l的极坐标方程为……5分
（2）联立直线l与曲线C的方程得
即
设点对应的参数分别为t1，t2，则
因为
当时取等号，所以的最小值为14.-----------------10分
23．解：（1）当时，原不等式可化为， …………………1分
①当时，，解得，所以； ……………………2分
②当时，，解得，所以； …………3分
③当时，，解得，所以． ………………4分
综上所述，当时，不等式的解集为． …………………5分
（2）不等式可化为，
依题意不等式在上恒成立，……………6分
所以，即，即， ……………8分
所以，解得，
故所求实数的取值范围是． ………………………………………10分