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- 2021-02-26 发布
2019学年度下期高二6月月考检测
数学（理科）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知=+（），其中为虚数单位，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．随机变量服从正态分布，且在区间内取值的概率为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知向量，若，则实数的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.下列选项中,说法正确的是( )
（A）命题“”的否定为“”
（B）命题“在中,∘,则”的逆否命题为真命题
（C）设是公比为的等比数列,则“”是“为递增数列”的充分必要条件
（D）若非零向量满足,则与共线
6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种
标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其
体积为（立方寸），则图中的为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7．已知，则的值是（ ）
- 11 -
（A） （B）
（C） （D）
8．如图是某算法的程序框图，该程序运行后输出的S的值是（ ）
（A）2 （B）
（C） （D）
9．奇函数是上的单调函数，若函数有且只有一个零点，则实数的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）或
10．已知（），其导函数的
图像如图所示，则的值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
11．已知底面边长为的正三棱锥的体积为，且均在球的球面上，则球的体积为( )
（A） （B） （C） （D）
12．若双曲线的左焦点关于其渐近线的对称点恰好落在双曲线的右支上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
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2．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．的展开式中的系数是________．（用数字作答）
14．设曲线在点处的切线方程为，则_________．
15．已知实数x、y满足，则的最小值是_________．
16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知函数，且.
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间；
18．（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前项和，求以及的最小值.
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19．（本小题满分12分）已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩
88
83
117
92
108
100
112
物理成绩
94
91
108
96
104
101
106
（Ⅰ）求这7名学生的数学成绩的中位数和物理成绩的平均数；
（Ⅱ）从这7名学生中任选2人去参加学科经验交流活动，求两科成绩都高于100分的人数的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求物理成绩对数学成绩的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？
下列公式与数据可供参考：
用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，；
，
，
．
20．（本小题满分12分）如图，直角梯形中，，，且，，是的中点，将和分别沿翻折，使得平面和平面都垂直于平面．
- 11 -
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）设椭圆:的左、右焦点，其离心率，且点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上的一点,过点作圆的两条切线，切线与轴交于、两点，求的取值范围.
- 11 -
22．（本小题满分12分）已知函数（其中，为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，若关于的不等式恒成立 ，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：.
2019学年度下期高二6月月考检测
理科数学答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
（1~5）ACBCD （6~10）BDBDA （11~12）AB
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、 14、 15、 16、
三、 解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、（本小题满分10分）
18、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ ∴当时，
两式相减得
∵是正项数列 ∴，从而，即是公差为1的等差数列
- 11 -
又∵ ∴； ……………………6分
（Ⅱ） ……………………7分
……………………10分
当时，因为和都是关于的增函数，故是关于的增函数，则.
又因为，，所以；
于是. ……………………12分
19、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）数学成绩的中位数是100分，物理成绩的平均数为100分． ……………………2分
（Ⅱ）可以取的值为0、1、2，则
- 11 -
得的分布列为：
0
1
2
数学期望是． ……………………7分
（Ⅲ）∵数学成绩的平均分为，物理成绩的平均分为
∴，从而
∴关于的线性回归方程为
当时，，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分． ……………………12分
20、（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：是中点，由平面几何知识得是等腰直角三角形，取中点，连结
在中,由,得
又平面平面，又平面平面
平面，
∴平面
,又
四边形是平行四边形
,又平面,平面
平面． ……………………6分
（Ⅱ）由第一问知可建立如图所示空间直角坐标系
由平面几何知识得：，
,
- 11 -
,
设平面的法向量为，由得
从而，所以
直线与平面所成角的正弦值为． ……………………12分
21、（本小题满分12分）
解：(1)由知，
∵右焦点到直线即的距离为，
∴解得
∴椭圆E的标准方程为 ……………………………………5分
(2)由题可知直线的斜率存在，故设过点的直线：
∵直线与圆相切，∴ ……………………7分
整理得： （*）
关于k的（*）方程的两根即为两条切线的斜率，
恒成立
∴， ……………………9分
由题易知，
- 11 -
∴……………10分
∵点在椭圆上，∴即
∴ ∵，∴ 故
∴的取值范围是[] …………………………………………12分
22、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当=0时，=1，=1，
易知，当0时，0；当0时，0；当=0时，=0；
故的极小值为=0,无极大值． ……………………3分
（Ⅱ）=21，令=21，则=2（0），
当21时，即时，0，故在上单调递增，=0，即0，
所以在上单调递增，从而=0恒成立；
当21时，即时，由=0，解得=.
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当时，0，单调递减，，即
所以在上单调递减，从而，不合题意.
综上可知实数的取值范围是. ……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当=时，当0时，，即.
欲证，只需证即可.
构造函数=（0），
则==0恒成立，故在（0，+）单调递增，
从而.即0，亦即.
得证. ……………………12分
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