2019版一轮复习理数通用版高考达标检测（四十一） 圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系 9页

高考达标检测（四十一） 圆锥曲线的综合问题 ——直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1．已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且点 A 在第一象限， 若|AF|＝3，则直线 l 的斜率为( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 2 解析：选 D 由题意可知焦点 F(1,0)，设 A(xA，yA)， 由|AF|＝3＝xA＋1，得 xA＝2，又点 A 在第一象限， 故 A(2,2 2)，故直线 l 的斜率为 2 2. 2．若直线 y＝kx＋2 与抛物线 y2＝x 有一个公共点，则实数 k 的值为( ) A. 1 8 B．0 C. 1 8 或 0 D．8 或 0 解析：选 C 由 y＝kx＋2， y2＝x， 得 ky2－y＋2＝0， 若 k＝0，直线与抛物线有一个交点，则 y＝2， 若 k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝1 8 ， 综上可知 k＝0 或 1 8. 3．已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，过点 P(3,6)的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点， 且 AB 的中点为 N(12,15)，则双曲线 C 的离心率为( ) A．2 B.3 2 C.3 5 5 D. 5 2 解析：选 B 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 AB 的中点为 N(12,15)，得 x1＋x2＝24，y1＋y2＝30， 由 x21 a2 －y21 b2 ＝1， x22 a2 －y22 b2 ＝1， 两式相减得：x1＋x2x1－x2 a2 ＝y1＋y2y1－y2 b2 ， 则y1－y2 x1－x2 ＝b2x1＋x2 a2y1＋y2 ＝4b2 5a2. 由直线 AB 的斜率 k＝15－6 12－3 ＝1， ∴4b2 5a2 ＝1，则b2 a2 ＝5 4 ， ∴双曲线的离心率 e＝c a ＝ 1＋b2 a2 ＝3 2. 4．已知抛物线 C：y2＝8x 与点 M(－2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B 两点．若 MA―→ · MB―→＝0，则 k＝ ( ) A.1 2 B. 2 2 C. 2 D．2 解析：选 D 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 的中点 P，过 A，B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 MF，MP， 由 MA―→ · MB―→＝0，知 MA⊥MB，则|MP|＝1 2|AB|＝1 2(|AG|＋|BH|)， 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线， 所以 MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP， 又|AG|＝|AF|，AM 为公共边，所以△AMG≌△AMF， 所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则 MF⊥AB，所以 k＝－ 1 kMF ＝2. 5．已知 F 是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点．O 为坐标原点，D 为其上一点，DF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 DF 交于点 E，与 y 轴交于 点 M，直线 BE 与 y 轴交于点 N，若 3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选 C 如图，设 A(－a,0)，B(a,0)，M(0，2m)，N(0，－3m)． 则直线 AM 的方程为 y＝2m a x＋2m，直线 BN 的方程为 y＝3m a x－3m. ∵直线 AM，BN 的交点 D(c，y0)， ∴2mc a ＋2m＝3mc a －3m，则c a ＝5， ∴双曲线的离心率为 5. 6．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2 4 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) A．2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析：选 C 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由 x2＋4y2＝4， y＝x＋t 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0. 则 x1＋x2＝－8 5t，x1x2＝4t2－1 5 . ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 2· －8 5t 2－4×4t2－1 5 ＝4 2 5 · 5－t2， 故当 t＝0 时，|AB|max＝4 10 5 . 二、填空题 7．焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是2 7 的椭圆的标准方程 为__________． 解析：设所求的椭圆方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a>b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)． 由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 ， 且x1＋x2 2 ＝2 7 ，y1＋y2 2 ＝－3 7. 将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得 y21 a2 ＋x21 b2 ＝1， y22 a2 ＋x22 b2 ＝1. 两式相减并化简，得a2 b2 ＝－y1－y2 x1－x2 ·y1＋y2 x1＋x2 ＝－2× －6 7 4 7 ＝3， 所以 a2＝3b2.又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25. 故所求椭圆的标准方程为y2 75 ＋x2 25 ＝1. 答案：y2 75 ＋x2 25 ＝1 8．经过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，倾斜角为 60°的直线与双曲线有且只 有一个交点，则该双曲线的离心率为________． 解析：∵经过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点， 倾斜角为 60°的直线与双曲线有且只有一个交点， ∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线 y＝b ax 平行， ∴b a ＝tan 60°＝ 3，即 b＝ 3a， ∴c＝ a2＋b2＝2a，故 e＝c a ＝2. 答案：2 9．抛物线 x2＝4y 与直线 x－2y＋2＝0 交于 A，B 两点，且 A，B 关于直线 y＝－2x＋m 对称，则 m 的值为________． 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2), 联立 x2＝4y， x－2y＋2＝0 消去 y，得 x2－2x－4＝0. 则 x1＋x2＝2，x1＋x2 2 ＝1. ∴y1＋y2＝1 2(x1＋x2)＋2＝3，y1＋y2 2 ＝3 2. ∵A，B 关于直线 y＝－2x＋m 对称， ∴AB 的中点在直线 y＝－2x＋m 上， 即3 2 ＝－2×1＋m，解得 m＝7 2. 答案：7 2 三、解答题 10．椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 3 ，过右焦点 F2(c,0)垂直于 x 轴的直线与 椭圆交于 P，Q 两点且|PQ|＝4 3 3 ，又过左焦点 F1(－c,0)作直线 l 交椭圆于两点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 上两点 A，B 关于直线 l 对称，求△AOB 面积的最大值． 解：(1)由题意可知|PQ|＝2b2 a ＝4 3 3 . ① 又椭圆的离心率 e＝c a ＝ 1－b2 a2 ＝ 3 3 ，则b2 a2 ＝2 3 ， ② 由①②解得 a2＝3，b2＝2， ∴椭圆的方程为x2 3 ＋y2 2 ＝1. (2)由(1)可知左焦点 F1(－1,0), 依题意，直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k≠0 时，可设直线 l 的方程为 y＝k(x＋ 1)(k≠0)，则直线 AB 的方程可设为 y＝－1 kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 y＝－1 kx＋m， x2 3 ＋y2 2 ＝1， 整理得(2k2＋3)x2－6kmx＋3k2m2－6k2＝0， Δ＝(－6km)2－4×(2k2＋3)(3k2m2－6k2)＞0， 则 m2k2－2k2－3＜0， ③ x1＋x2＝ 6km 2k2＋3 ，x1x2＝3k2m2－6k2 2k2＋3 . 设 AB 的中点为 C(xC，yC)， 则 xC＝x1＋x2 2 ＝ 3km 2k2＋3 ，yC＝ 2k2m 2k2＋3 . ∵点 C 在直线 l 上，∴ 2k2m 2k2＋3 ＝k 3km 2k2＋3 ＋1 ， 则 m＝－2k－3 k ， ④ 此时 m2－2－ 3 k2 ＝4k2＋ 6 k2 ＋10＞0 与③矛盾，故 k≠0 时不成立. 当直线 l 的斜率 k＝0 时，A(x0，y0)，B(x0，－y0)(x0＞0，y0＞0)， ∴△AOB 的面积 S＝1 2·2y0·x0＝x0y0. ∵x20 3 ＋y20 2 ＝1≥2 x20 3 ·y20 2 ＝ 6 3 x0y0，∴x0y0≤ 6 2 . 当且仅当x20 3 ＝y20 2 ＝1 2 时取等号． ∴△AOB 的面积的最大值为 6 2 . 11．已知抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的焦点 F，E 上一点(3，m)到焦点的距离为 4. (1)求抛物线 E 的方程； (2)过 F 作直线 l，交抛物线 E 于 A，B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为－1，求直线 l 的方程． 解：(1)抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－p 2 ， 由抛物线的定义可知 3－ －p 2 ＝4， 解得 p＝2，∴抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)法一：由(1)得抛物线 E 的方程为 y2＝4x，焦点 F(1,0)， 设 A，B 两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y21＝4x1， y22＝4x2， 两式相减，整理得y2－y1 x2－x1 ＝ 4 y2＋y1 (x1≠x2)． ∵线段 AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线 l 的斜率 kAB＝ 4 y2＋y1 ＝ 4 －1×2 ＝－2， ∴直线 l 的方程为 y－0＝－2(x－1)，即 2x＋y－2＝0. 法二：由(1)得抛物线 E 的方程为 y2＝4x，焦点 F(1,0)， 设直线 l 的方程为 x＝my＋1， 由 y2＝4x， x＝my＋1 消去 x，得 y2－4my－4＝0. 设 A，B 两点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵线段 AB 中点的纵坐标为－1， ∴y1＋y2 2 ＝4m 2 ＝－1，解得 m＝－1 2 ， ∴直线 l 的方程为 x＝－1 2y＋1，即 2x＋y－2＝0. 12．(2018·海口调研)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为 A，B，其离心 率 e＝1 2 ，点 M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是 2 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D，线段 BD 的垂直平分线与 y 轴交于点 P，当 PB―→· PD―→＝0 时，求点 P 的坐标． 解：(1)由题意可知 e＝c a ＝1 2 ， 1 2 ×2ab＝2 3， a2＝b2＋c2， 解得 a＝2，b＝ 3，所以椭圆方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)由(1)知 B(2,0)，设直线 BD 的方程为 y＝k(x－2)，D(x1，y1)， 把 y＝k(x－2)代入椭圆方程x2 4 ＋y2 3 ＝1， 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 所以 2＋x1＝ 16k2 3＋4k2 ⇒x1＝8k2－6 3＋4k2 ，则 D 8k2－6 3＋4k2 ， －12k 3＋4k2 ， 所以 BD 中点的坐标为 8k2 3＋4k2 ， －6k 3＋4k2 ， 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y－ －6k 3＋4k2 ＝－1 k x－ 8k2 3＋4k2 ，得 P 0， 2k 3＋4k2 . 又 PB―→ · PD―→＝0，即 2，－ 2k 3＋4k2 · 8k2－6 3＋4k2 ， －14k 3＋4k2 ＝0， 化简得64k4＋28k2－36 3＋4k22 ＝0⇒64k4＋28k2－36＝0， 解得 k＝±3 4. 故 P 0，2 7 或 0，－2 7 . 1．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的短轴长为 2，离心率为 2 2 ，设过右焦点的直线 l 与 椭圆 C 交于不同的两点 A，B，过 A，B 作直线 x＝2 的垂线 AP，BQ，垂足分别为 P，Q. 记λ＝|AP|＋|BQ| |PQ| ，若直线 l 的斜率 k≥ 3，则λ的取值范围为__________． 解析：∵椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的短轴长为 2，离心率为 2 2 ， ∴ 2b＝2， c a ＝ 2 2 ， a2＝b2＋c2， 解得 a＝ 2，b＝c＝1， ∴椭圆 C 的方程为x2 2 ＋y2＝1. ∵过右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B， ∴设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 联立 x2 2 ＋y2＝1， y＝kx－1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0, 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞y2， 则 x1＋x2＝ 4k2 2k2＋1 ，x1x2＝2k2－2 2k2＋1 ， ∴λ＝|AP|＋|BQ| |PQ| ＝2－x1＋2－x2 y1－y2 ＝ 4－x1＋x2 kx1－1－kx2－1 ＝ 4－x1＋x2 k x1＋x22－4x1x2 ＝ 4－ 4k2 2k2＋1 k 4k2 2k2＋1 2－4×2k2－2 2k2＋1 ＝ 2k2＋2 k ＝ 2＋ 2 k2. ∵k≥ 3， ∴当 k＝ 3时，λmax＝ 2＋2 3 ＝2 6 3 ，当 k→＋∞时，λmin→ 2， ∴λ的取值范围是 2，2 6 3 . 答案： 2，2 6 3 2．已知动点 M 到定点 F(1,0)的距离比 M 到定直线 x＝－2 的距离小 1. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1，l2，分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N.设线段 AB，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点； (3)在(2)的条件下，求△FPQ 面积的最小值． 解：(1)由题意可知，动点 M 到定点 F(1,0)的距离等于 M 到定直线 x＝－1 的距离， 根据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明：设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则点 P 的坐标为 x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 . 由题意可设直线 l1 的方程为 y＝k(x－1)，k≠0， 由 y2＝4x， y＝kx－1 得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0. 因为直线 l1 与曲线 C 交于 A，B 两点， 所以 x1＋x2＝2＋ 4 k2 ，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝4 k. 所以点 P 的坐标为 1＋ 2 k2 ，2 k . 由题知，直线 l2 的斜率为－1 k ，同理可得点 Q 的坐标为(1＋2k2，－2k)． 当 k≠±1 时，有 1＋ 2 k2 ≠1＋2k2，此时直线 PQ 的斜率 kPQ＝ 2 k ＋2k 1＋ 2 k2 －1－2k2 ＝ k 1－k2. 所以直线 PQ 的方程为 y＋2k＝ k 1－k2(x－1－2k2)， 整理得 yk2＋(x－3)k－y＝0. 于是直线 PQ 恒过定点 E(3,0)； 当 k＝±1 时，直线 PQ 的方程为 x＝3，也过点 E(3,0)． 综上所述，直线 PQ 恒过定点 E(3,0)． (3)由(2)得|EF|＝2， 所以△FPQ 面积 S＝1 2|EF| 2 |k| ＋2|k| ＝2 1 |k| ＋|k| ≥4， 当且仅当 k＝±1 时，“＝”成立， 所以△FPQ 面积的最小值为 4.