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- 2021-02-26 发布
第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
(对应学生用书第61页)
[基础知识填充]
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·C．
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤·
[知识拓展]
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( )
(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( )
(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝C．( )
(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A [因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A．]
3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，
从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.
法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，
从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．]
4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.]
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
7 [∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.]
(对应学生用书第62页)
平面向量数量积的运算
(1)(2016·天津高考)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为
( )
A．－ B．
C． D．
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________. 【导学号：79170135】
(1)B (2)1 1 [(1)如图所示，＝＋.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝，
所以＝＋.
又＝－，
则·＝·(－)
＝·－2＋2－·
＝2－2－·.
又||＝||＝1，∠BAC＝60°，
故·＝－－×1×1×＝.故选B．
(2)法一：以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以
eq o(DE,sup8(→))·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，
所以(·)max＝||·1＝1.]
[规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．
2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．
[变式训练1] (1)已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ( )
A．－ B．－3
C． D．3
(2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，点F在边CD上．若·＝3，则·的值为( ) 【导学号：79170136】
A．0 B．
C．－4 D．4
(1)C (2)C [(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
(2)由·＝3得·(＋)＝·＝3，
所以||＝1，||＝2，
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝－6＋2＝－4.]
平面向量数量积的性质
角度1 平面向量的模
(1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)(2018·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
(1)B (2)2 [(1)由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B．
(2)因为＝(＋)
＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)
＝4×(3－2×2××cos＋4)＝4，
所以||＝2.]
角度2 平面向量的夹角
(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k
的取值范围是________．
(1) (2)∪ [(1)因为a2＝(3e1－2e2)2
＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)
＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向．
综上，k的取值范围为∪.]
角度3 平面向量的垂直
(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
－5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
[规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b
|＝|a＋b|.
3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
(2)|a±b|＝＝.
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
平面向量与三角函数的综合
(2018·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值． 【导学号：79170137】
[解] (1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，
所以sin＝，
因为0＜x＜，所以－＜x－＜，
所以x－＝，即x＝.
[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等．
[变式训练2] (2018·郴州模拟)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求tan 2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
[解] (1)∵a∥b，a＝，b＝(cos x，－1)
∴sin x·(－1)－·cos x＝0，
即sin x＋cos x＝0，
得sin x＝－cos x，
∴tan x＝＝－，
∴tan 2x＝＝.
(2)∵a＝，b＝(cos x，－1)，
∴a·b＝sin xcos x－，b2＝cos2x＋(－1)2＝cos2x＋1，
∴f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sin xcos x－＋cos2x＋1＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴f(x)＝sin∈.
故函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域为.