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- 2024-06-03 发布
2018-2019学年山西大学附属中学
高二9月模块诊断数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．设集合，则
A． B． C． D．
2．不等式的解集是
A． B．
C． D．
3．设，，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
4．平面向量与的夹角为60°，且,则
A． B． C． 4 D． 12
5．已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概
率为
A． B． C． D．
6．已知， ， ，则a, b, c的大小关系为
A． B．
C． D．
7．已知，则
A． B． C． D．
8．已知函数的图象的一个对称中心是点，则函数 的图象的一条对称轴是直线
A． B． C． D．
9．设函数为奇函数, 且在内是减函数,, 则满足的实数的取值范围为
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列函数的图象错误的是
A． B．
C． D．
11．若函数图象上存在不同的两点关于轴对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（注：点对与可看作同一对“和谐点对”）.已知函数，则此函数的“和谐点对”有
A． 0对 B． 1对 C． 2对 D． 3对
12．已知点是重心,,若 ,则的最小值是
A． B． C． D．
二、填空题
13．=___________.
14．已知且满足,则 的最小值为___________.
15．设是公比不为1的等比数列，其前项和为，若成等差数列，则_______.
16．给出下列五个命题：
①当时，有；
②若是锐角三角形，则；
③已知是等差数列的前项和，若，则；
④函数与的图像关于直线对称；
⑤当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为.
其中正确命题的序号为___________．
三、解答题
17．已知顶点在单位圆上的中,角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若,求的面积.
18．去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为四个等级，等级评定标准如下表所示.
评估得分
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
评定等级
D
C
B
A
（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家等级的概率.
19．在数列中，是它的前项和，且，.在数列中，，，且，另设，其中.
（1）求数列的通项公式,并证明数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
20．已知函数.
（1）求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；
（2）已知中，角的对边分别为。若，求实数的最小值.
21．设数列的首项，前项和为，且、、成等差数列，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足：，其中，求数列的前项和及数列的最大项.
22．已知向量，函数，
.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由
2018-2019学年山西大学附属中学
高二9月模块诊断数学试题
数学 答 案
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由题意结合交集的定义进行运算即可.
【详解】
由题意结合交集的定义可得：.
本题选择A选项.
【点睛】
本题主要考查交集的定义与计算，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
由题意结合二次不等式的解法求解不等式的解集即可.
【详解】
不等式即：，
由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
3．D
【解析】
试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵b＜a，d＜c,∴设b=-1，a=-2，d=2，c=3,选项A，-2-3＞-1-2，不成立,选项B，（-2）×3＞（-1）×2，不成立,选项C，，不成立,故选D
考点：基本不等式
点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．
4．B
【解析】
.
故选：B
5．B
【解析】
【分析】
首先确定函数的功能，然后求解题中的概率值即可.
【详解】
程序执行过程如下：
首先输入，输入n的值为，
第一次循环时，满足，执行，；
第二次循环时，满足，执行，；
第三次循环时，满足，执行，；
第四次循环时，不满足，程序跳出循环，输出，
求解不等式可得：，
而输入的实数，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为.
本题选择B选项.
【点睛】
识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
6．A
【解析】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得， ，因此,故选A.
考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题.
多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.
7．D
【解析】
【分析】
由题意结合辅助角公式和诱导公式求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，则
结合诱导公式可得：.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数的诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．D
【解析】
【分析】
由题意结合辅助角公式和诱导公式、三角函数的对称性求解函数的对称轴即可.
【详解】
由辅助角公式可得：，其中，
其对称中心满足：，即，
函数
，其中，
则函数的对称轴满足，即，
注意到，故，
则函数的对称轴为： ,
令可得函数的图象的一条对称轴是直线.
本题选择D选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数的对称性，三角函数诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．C
【解析】
【分析】
由题意绘制函数的大致图象，然后结合不等式分类讨论求解实数的取值范围即可.
【详解】
由题意结合奇函数的性质绘制函数的大致图象如图所示，
不等式等价于或，
观察函数图象可得不等式的解集为.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．D
【解析】
【分析】
首先绘制函数的图象，然后结合函数图象变换的性质逐一考查所给选项是否正确即可.
【详解】
由函数的解析式绘制函数的图象如图所示，
将函数图象向右平移一个单位长度即可得到函数的图象；
将函数图象关于轴对称即可得到函数的图象；
将函数图象位于轴下方的图象对称到轴上方即可得到函数的图象；
将函数图象保留轴右侧的图象，然后关于轴对称到左侧即可得到函数的图象；
结合所给选项可知函数图象错误的是D选项.
【点睛】
本题主要考查分段函数的图象，函数图象的变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．C
【解析】
【分析】
首先将原问题转化为函数图象交点个数的问题，然后数形结合求解函数的“和谐点对”个数即可.
【详解】
函数关于轴对称的函数解析式为，
结合“和谐点对”的定义可知原问题等价于：
数与函数交点的个数，
绘制函数图象如图所示，观察可得交点的个数为2个，即此函数的“和谐点对”有2对.
本题选择C选项.
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
12．C
【解析】
【分析】
由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.
【详解】
如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
，
根据向量的数量积的定义可得,
设，则，
，
当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.
综上可得的最小值是.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．1133
【解析】
【分析】
首先将二进制转化为十进制，然后再转化为五进制即可.
【详解】
由题意可得：，
利用竖式除法有：
据此可得：.
【点睛】
本题主要考查数制的转化法则，属于基础题.
14．18
【解析】
解：因为时取得等号，因此填写18.
15．5
【解析】
【分析】
由题意首先求得数列的公比，然后求解的值即可.
【详解】
由题意可得：，
设等比数列的公比为，则，
即：，由于，故，
据此可得.
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
16．② ③
【解析】
【分析】
逐一考查所给命题的真假即可.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①当时，，不满足，题中的命题错误；
②若是锐角三角形，则，即，
由余弦函数的单调性可得，即，题中的命题正确；
③已知是等差数列的前项和，若，则，
据此可得，
题中的命题正确；
④设函数，则函数与的图像如图所示，很明显函数图象不关于直线对称，题中的命题错误；
⑤当时，不等式恒成立，
据此可得：恒成立，
当时，，
当时，，
由对勾函数的性质可得：时，,
则实数的取值范围为，题中的命题错误.
综上可得，正确命题的序号为② ③.
【点睛】
当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.
17．（1）；（2）。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意进行变形，再利用余弦定理即可求得；（Ⅱ）由正弦定理得，再由余弦定理求得，最后由三角形的面积公式即可求得结果.
试题解析：
解：（Ⅰ）由得，
又∵∴
（Ⅱ）由得
由余弦定理得
∴
∴
考点：正弦定理；余弦定理；三角形的面积公式.
18．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可；
（2）列出所有可能的事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可.
【详解】
（1）最高小矩形的底边中点为75，估计得分的众数为75分。
直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为
1-0.28-0.16-0.08=0.48.
所以，
故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.
（2）等级的频数为，记这两家分别为等级的频数为，记这四家分别为，从这6家连锁店中任选2家，共有
，共有15种选法.
其中至少选1家等级的选法有 共9种，则，
故至少选一家等级的概率为.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．（1），证明见解析；（2）。
【解析】
【分析】
（1）由通项公式与前n项和公式的关系分类讨论和两种情况求解数列的通项公式即可，利用等比数列的定义即可证得数列为等比数列；
（2）由（1）可得，结合通项公式的特点错位相减求解数列的前n项和即可.
【详解】
（1）当时，，
当时，也满足上式，
∴。
又
且
∴数列为以1为首项，2为公比的等比数列。
（2）由（1）得
∴
∴ ①
② ；
①-②得
∴
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
20．（1）函数的最大值为2.此时的取值集合为；（2）最小值为1.
【解析】
【分析】
(1)整理函数的解析式可得.结合三角函数的性质可得函数的最大值为2，此时的取值集合为.
（2）由题意可得，结合余弦定理和均值不等式的结论可得的最小值为.
【详解】
(1)
.
要使取最大值，则
，
解得.
∴函数的最大值为2.此时的取值集合为.
（2）由题意，，化简得
，，∴， ∴
在中，根据余弦定理，得.
由，知，即.
∴当时，实数取最小值
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算法则，三角函数的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（1）；（2），的的最大项是。
【解析】
【分析】
(1)由题意结合递推关系可证得数列是首项为1，公比为2的等比数列，据此即可求得数列的通项公式.
（2）由题意可得，据此可得数列的前n项和为，由讨论数列的最大项即可.
【详解】
(1)由、、成等差数列知，
当时，，所以，
当时，由得，
综上对任何,都有,又，
所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以。
（2）
∴
，
，
当时，，即；当时，也有，但；
当时，，，即.
所以数列的的最大项是。
【点睛】
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
22．（1）；（2）；（3）存在实数m满足条件，且其范围为。
【解析】
【分析】
（1）首先由平面向量数量积的坐标运算求得函数的解析式，然后求解时的值即可；
（2）由题意可得2cos2x﹣2mcosx，换元后结合二次函数的性质分类讨论求解实数的值即可；
（3）令求解的值，据此求得关于的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围是．
【详解】
（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）
=coscos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，
当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，
则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；
（2）∵x∈[﹣，]，
∴|+|===2cosx，
则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，
令t=cosx，则≤t≤1， 则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，
①当＜，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），
②当≤≤1，即m＜1时，
当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，
③当＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），
综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数．
（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或cosx=，
∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，
则，得，则≤m＜，
即实数m的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，换元思想与分类讨论思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.