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- 2024-06-03 发布
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珠海市2019～2020学年度第二学期普通高中学业质量监测
高三理科数学试题
时间：120分钟 满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．
1．已知全集,集合,,则 （ ）
A. B． C． D．
2．设是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知在中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分
数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（ ）
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
8．已知两条不同直线，，两个不同平面，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
10．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（ ）
A．210种 B．252种 C．343种 D．336种
11．已知椭圆，为椭圆上的一个动点，以为圆心，2为半径作圆，，为圆的两条切线，，为切点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列的前项的和为，且，，则 ．
14．现有三张卡片，每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个，且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海”．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．
15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心率为 .
16．在中，角，，所对的边分别是，若，，则面积的最大值为 ．
三、解答题：共分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）已知数列的前项的和为，且满足，
（1）求数列的通项公式及；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥，四边形为平行四边形，，，，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交曲线于，两点，交圆于，
两点， ，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，，，求与的面积的积的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数，其中k∈R．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值的表达式，并求的最大值．
21． （本小题满分12分）
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验n次；
（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，
（二） 选考题
请考生在第题中任选一题作答． 如果多做，那么按照所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)设直线与圆交于两点，求的值．
23．(本小题满分10分)已知函数．
（1）解不等式；
（2）当，时，证明：．
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珠海市2019～2020学年度第二学期普通高中学业质量监测
高三理科数学试题
时间：120分钟 满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．
1．已知全集,集合,,则 （ ）
A. B． C． D．
2．设是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分
数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，
则它们的大小关系为（ ）
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
8．已知两条直线，，两个平面，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
10．甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有（ ）
A．210种 B．252种 C．343种 D．336种
11．已知椭圆，为椭圆上的一个动点，以为圆心，2为半径作圆，，为圆的两条切线，，为切点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知等差数列的前项的和为，且，，则 ． 2021
14．现有三张卡片每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海“．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．深圳
15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点，则双曲线的离心率为 或
16．在中，角，，所对的边分别是，，且
若，则面积的最大值为 ．
三、解答题：共分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）已知数列的前项的和为，且满足，
（1）求数列的通项公式及，
（2）若数列满足，求数列的前项的和为.
解：（1）由得：，即，…………………1分
由得：,两式相减得: ,
即，即数列是以1为首项，2为公比的等比数列， ………2分
则， ……………………………………………………………………3分
则， …………………………………………………………5分
（2）由（1）知：，则， …………6分
则当时，
， ……………………………………………8分
当时，
，…………………………………………11分
则． …………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥，四边形为平行四边形，，，，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求二面角的余弦值．
(1) 证明：∵四边形为平行四边形，
∴为中点……………………………………1分
∵为中点
∴，平面，平面…………2分
∴平面……………………………3分
(1) 证明：∵四边形为平行四边形，
∴为，中点
∵，
∴，，………………………4分
∴平面
∴
又，
∴平面，平面………………………5分
∴平面平面………………………6分
(2) 解：以，分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，，，………………………8分
，，
设平面和平面的法向量分别为，
则，夹角的补角就是二面角的平面角
由和
解得：和………………………10分
∴，
∴………………………11分
∴二面角的余弦值为．…………………12分
19．（本小题满分12分）
已知曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率为的直线交曲线于，二点，交圆于，二点， ，在轴上方，过点，分别作曲线的切线，，，求与的面积的积的取值范围．
解：(1)因为曲线上的点到的距离比它到直线的距离少3
所以曲线上的点到的距离和它到直线的距离相等…………………2分
故曲线是为焦点，为准线的抛物线
故………………………4分
(2)由题设知：
则
设，
∵，在轴上方
∴，，，
与方程联立消得
则，是“*”的二根
则且“*”的………………………6分
由 得时，则；
时，则
，
故
，联立消得，同时带入，方程相加得………………………8分
∴
到的距离………………………9分
………………………10分
………………………11分
∴与的面积的积的取值范围是．………………………12分
20．（本小题满分12分）已知函数，其中k∈R．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当k∈[1，2]时，求函数在[0，k]上的最大值的表达式，并求的最大值．
解：（1），………………………………………………1分
当时，令得令得故的单调递增区间为的单调递减区间为……………………………………………3分
当时，令得或，
当时，当时或；当时；的单调递增区间为；减区间为.………………………5分
当时，当时；当时；的单调递增区间为；…………………………………………………………………………………6分
（2） 当时由（1）知，的单调递增区间为为；减区间为
.令，，故在上单调递减，故，…………………………7分
所以当[0，k]时函数单调减区间为，单调增区间为；
故函数
由于
对于，，即，当时等号成立，
故．……………………………………………………………9分
当时由（1）知；的单调递增区间为；所以当[0，k]时函数单调递增，故．
综上所述：函数在[0，k]上的最大值为…10分
，由于，
对恒成立.
上为增函数.……………………12分
21． （本小题满分12分）
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验n次；
（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ii）若
，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，
解（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则,……………………2分
∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为…………………3分
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,
,,
,…………………4分
若,则,则,
,,
∴p关于k的函数关系式为（,且）………………6分
（ii）由题意知,得,
,,,……………………8分
设（）,
则,令,则,……………………10分
∴当时,,即在上单调增减,
又,,
,
又,,
,
∴k的最大值为4 ……………………12分
（二）选考题：共分． 请考生在第题中任选一题作答． 如果多做，那么按照所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)设直线与圆交于两点，求的值．
解：（1）由得，…………………2分
从而有即：…………………4分
（2）由题意设直线的参数方程为即：…………………5分
代入圆的方程得…………………7分
整理得：
，
由且…………………9分
可知…………………10分
23．已知函数.
（1）解不等式；
（2）当，时，证明：.
解：（1）由得
当时，得即：；…………………2分
当时，得即：；…………………4分
（2）由…………………5分
由绝对值不等式得…………………7分
又因为同号，所以…………………8分
由基本不等式得：…………………9分
所以…………………10分