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- 2024-06-02 发布
2018-2019学年江苏省扬州中学高二上学期期中考试数学试题
一、填空题
1．直线的倾斜角为__________．
【答案】
【解析】试题分析：由直线方程可知斜率
【考点】直线倾斜角与斜率
2．已知函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是______．
【答案】2+△x
【解析】利用平均变化率的公式即可得解．
【详解】
解：函数y=x2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：=2+△x．
故答案为：2+△x．
【点睛】
本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．
3．过点（1，0）且与直线平行的直线方程是
【答案】
【解析】试题分析：直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线为
【考点】直线方程
4．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】试题分析：由题意得：
【考点】椭圆几何性质
5．若a+b=1，则直线2ax-by=1恒过定点______．
【答案】（，-1）
【解析】由题得a=1-b,所以直线方程为2x-1-(2x+y)b=0,再解方程组得直线的定点坐标.
【详解】
解：若a+b=1，所以a=1-b,
所以直线方程为2(1-b)x-by=1,
所以2x-1-(2x+y)b=0,
所以
所以直线经过定点（，-1），
故答案为：（，-1）．
【点睛】
本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．
6．若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=______时的瞬时速度为0．
【答案】4
【解析】由题得S′=3t2-12t=0，解方程即得解.
【详解】
解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，
∴S′=3t2-12t，
令S′=3t2-12t=0，
解得t=4， (t=0舍去)
∴质点在4s时的瞬时速度为0．
故答案为：4
【点睛】
本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系式求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．
7．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为______．
【答案】x2+y2-2x=0
【解析】由抛物线y2=4x可求出圆心为（1，0）又过坐标原点则半径为R=1再代入圆的标准方程即可求解．
【详解】
解：∵抛物线y2=4x
∴焦点（1，0）
∴所求圆的圆心为（1，0）
又∵所求圆过坐标原点
∴所求圆的半径R=1
∴所求圆的方程为（x-1）2+y2=1即x2-2x+y2=0
故答案为：x2-2x+y2=0．
【点睛】
本题以抛物线的有关知识为载体求圆的方程有较强的综合性，关键是会求抛物线的焦点和利用题中条件求圆的半径.
8．已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=2，则C上各点到l的距离的最小值为______．
【答案】
【解析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，再利用点到直线的距离公式求CD, 即得C上各点到l的距离的最小值为CD-r.
【详解】
解：如图可知：过圆心作直线l：x-y+4=0的垂线，则AD长即为所求；
∵圆C：（x-1）2+（y-1）2=2的圆心为C（1，1），半径为，
点C到直线l：x-y+4=0的距离为，
∴AD=CD-AC=2-=，
故C上各点到l的距离的最小值为．
故答案为：
【点睛】
此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．
9．函数f（x）=x+2cosx在（0，2π）上的单调递减区间为______．
【答案】
【解析】先求导得再解不等式即得函数的单调递减区间.
【详解】
解：∵函数y=x+2cosx，
∴y′=1-2sinx＜0，
∴sinx＞，
又∵x∈（0，2π），
∴x∈，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查用导数法求函数的单调区间,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．设分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在A，使,且，则双曲线的离心率为__.
【答案】
【解析】设，根据双曲线定义表示，再利用勾股定理表示，从而可得解.
【详解】
设分别是双曲线的左、右焦点.
若双曲线上存在点A, 使,且，
设
双曲线中，
∴离心率，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的求解，关键是通过几何条件和双曲线的定义求得a和c的比值，属于中档题.
11．已知f（x）=2x+3xf′（0），则f′（1）=______．
【答案】
【解析】根据题意，求出函数的导数，令x=0可得f′（0）=ln2+3f′（0），计算可得f′（0）=-，即可得f′（x）=2xln2-，将x=1代入计算可得答案．
【详解】
解：根据题意得f′（x）=2xln2+3f′（0），
当x=0时，有f′（0）=ln2+3f′（0），即可得f′（0）=-，
则f′（x）=2xln2-，
则f′（1）=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的计算，关键是求出f′（0）的值，属于基础题．
12．已知椭圆+=1的左焦点为F，直线x-y-2=0，x-y+2=0与椭圆分别相交于A，B，C，D，则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=______．
【答案】12
【解析】设椭圆的右焦点为F′，由题分析得到|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|，再利用椭圆的定义求解.
【详解】
解：
设椭圆的右焦点为F′，由椭圆定义可知|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a=6．
∵直线x-y-2=0和直线x-y+2=0关于原点对称，且椭圆是中心对称图形，对称中心为原点，
∴|DF|=|AF′|，|CF|=|BF′|，
∴|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|AF′|+|BF|+|BF′|=4a=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了椭圆的定义及对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（x）+f（-x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≥-a，则实数a的取值范围是______．
【答案】[，+∞）
【解析】根据条件构造函数g（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可．
【详解】
解：∵f（x）+f（-x）=x2，
∴f（-x）-x2=x2-f（x）=-[f（x）-x2]，
设g（x）=f（x）-x2，
则g（x）是奇函数，
且g′（x）=f′（x）-x．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＜x．
∴当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．即此时g（x）为减函数，
∵g（x）是奇函数，
∴当x≤0时，g（x）也是减函数，
即g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
则若f（1-a）-f（a）≥-a，
等价为g（1-a）+（1-a）2-g（a）-a2≥-a，
即g（1-a）+-a+a2-g（a）-a2≥-a，
即g（1-a）≥g（a），
即1-a≤a，
得2a≥1，即a≥，
即实数a的取值范围是[，+∞），
故答案为：[，+∞）
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性性质将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．在直角坐标中xOy，圆C1：x2+y2=8，圆C2：x2+y2=18，点M（1，0），动点A、B分别在圆C1和圆C2上，满足，则的取值范围是______．
【答案】（，）
【解析】设A（x1，y1）、B（x2，y2），由条件可得|AB|2 =28-2（x1+x2）．设AB中点为N（x0，y0），则|AB|2=28-4x0 ，利用线段的中点公式求得（x0-）2+y02=，再由x0 的范围，求得|AB的范围即可求出的范围.
【详解】
解：
∵，
∴，
∴A（x1，y1）、B（x2，y2），则|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=26-2（x1x2+y1y2）．
∵-2≤x1≤2，，
∴（x1-1，y1）．（x2-1，y2）=0，即（x1-1）（x2-1）+y1y2=0，即x1x2+y1y2=x1+x2-1，
∴|AB|2=26-2（x1+x2-1）=28-2（x1+x2）．
设AB中点为N（x0，y0），则|AB|2=28-4x0 ，
∵，
∴4（x02+y02）=26+2（x1x2+y1y2）=26+2（x1+x2-1）=24+4x0，即（x0-）2+y02=，
∴点N（x0，y0）的轨迹是以（，0）为圆心、半径等于的圆，
∴x0的取值范围是（-2，3），
∴|AB|2=28-4x0 的范围为（16，36），
则的取值范围为（）
故答案为：（）
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系、两点间的距离公式和圆的标准方程，考查圆中的轨迹问题，考查函数的思想处理最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、解答题
15．已知双曲线C1：-=1．
（1）若点M（3，t）在双曲线C1上，求M点到双曲线C1右焦点的距离；
（2）求与双曲线C1有共同渐近线，且过点（-3，2）的双曲线C2的标准方程．
【答案】（1）4（2）x2-=1
【解析】（1）由题得t2=12（-1）=15，再利用两点间的距离公式求得M点到双曲线C1右焦点的距离；（2）设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），代入点（-3，2），即得m的值和双曲线的标准方程.
【详解】
解：（1）双曲线C1：-=1的右焦点为（4，0），
点M（3，t）在双曲线C1上，可得t2=12（-1）=15，
则M点到双曲线C1右焦点的距离为=4；
（2）与双曲线C1有共同渐近线，可设双曲线C2的方程为-=m（m≠0，m≠1），
代入点（-3，2），可得m=-=，
则双曲线C2的标准方程为x2-=1．
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查共渐近线的双曲线的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x
所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝．
又f′(x)＝a＋，
于是，解得
故f(x)＝x－．
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6．
曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．
17．如图是一种加热食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为8m，镜深1m．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．
【答案】（1）标准方程是y2=16x，焦点坐标是F（4，0）（2）5
【解析】（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x
轴垂直于镜口直径，根据点A（1,4）可以求出抛物线的标准方程；（2）由题得A、F两点间的距离即为每根铁筋长，求|AF|的长度即可得解.
【详解】
解：（1）在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，如图所示；
使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径；
由已知，得A点坐标是（1，4），
设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
则16=2p×1，求得p=8；
所以所求抛物线的标准方程是y2=16x，
所以焦点坐标是F（4，0）.
（2）盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长.
计算|AF|=x1+=1+4=5，即每根铁筋的长度是5m．
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程的求法和简单几何性质，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a（a＞4），求a的取值范围．
【答案】（1）x-y=0或x-y-4=0；（2）（22-8，22+8）
【解析】(1)由题得直线AB方程为x-y+1=0， 设直线l的方程为x-y+m=0，由r2=（）2+（）2，解得m=0或-4，即得直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；（2）设P（x，y），由题得x2+（y-1）2=-2，即得P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆，由两圆相交可得-2＜＜+2，解不等式即得a的取值范围．
【详解】
解：（1）根据题意，圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，
所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），直线AB的方程为x-y+1=0，且|AB|==2，
设直线l的方程为x-y+m=0，
又由MN=AB=2，圆心C到直线l的距离d=
则有r2=（）2+（）2，即（）2=2，解可得m=0或-4，
故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0；
（2）根据题意，设P（x，y），
若PA2+PB2=a，则PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=a，
变形可得：x2+y2-2y+3=，即x2+（y-1）2=-2，
则P的轨迹是以（0，1）为圆心，为半径的圆；
若圆C上存在两个点P，使得PA2+PB2=a，则圆C与圆x2+（y-1）2=4相交，
两圆的圆心距d′==，
则有-2＜＜+2，
解可得：22-8＜a＜22+8，
故a的取值范围为（22-8，22+8）.
【点睛】
本题主要考查平行直线方程的求法，考查圆中的轨迹问题，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．圆C2：x2+y2=b2．A、B为椭圆上不同的两点，AB中点为M．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线AB过F点，直线OM交l于N点，求证：NF⊥AB；
（3）若直线AB与圆C2相切，求原点O到AB中垂线的最大距离．
【答案】（1）=1（2）见解析（3）
【解析】（1）由椭圆的右焦点和右准线得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设AB：x=my+1，联立直线AB方程和椭圆方程求出点M的坐标和点N的坐标，再计算得kNF•kAB=-1，即得NF⊥AB；（3）设AB：x=my+n，求出AB中垂线方程为mx+y-=0，再求出O到AB中垂线的距离，再利用基本不等式求最大距离.
【详解】
解：（1）椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），右准线l：x=4．
∴，
解得a=2，b=，
∴椭圆C1的方程为=1．
（2）由题意，AB的斜率不为0，故设AB：x=my+1，
联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
由题意得△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=-，y1y2=-，∴M（），
所以OM方程为y=-，
∴N（4，-3m），又F（1，0），∴kNF=-m，
∵kNF•kAB=-m•=-1，∴NF⊥AB，
当m=0时，NF⊥AB，
综上，NF⊥AB．
（3）C2：x2+y2=3，设AB：x=my+n，
与圆C2相切，得=，
与=1联立，得（3m2+4）y2+6mny+3n2-12=0，
M（），
所以AB中垂线方程为：y+=-m（x-），即mx+y-=0，
所以O到其距离d==≤=，
当3|m|=，即m=时，取等号．
综上，点O到AB的中垂线的最大距离为．
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法和椭圆的简单几何性质，考查两条直线垂直的斜率表示，考查点到直线的距离的求法和最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．已知函数f（x）=|ax-2|+lnx（其中a为常数）
（1）若a=0，求函数g（x）=的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令F（x）=f（x）-，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．
【答案】（1）极大值为e，无极小值．（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）直接利用导数求函数的极值；（2）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（3）由题得|ax-2|=-lnx，先求出函数y=-lnx在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，再对a分类讨论，结合数形结合分析得到函数F（x）在（0，1]上零点的个数.
【详解】
解：（1）当a=0时，f（x）=2+lnx，
g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，g′（x）＞0 g（x）单调递增：
当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，即当x=，时函数g（x）取得极大值，极大值为g（）=e，无极小值．
（2）若a≤0．则f（x）=-ax+2+lnx，f′（x）=-a+＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则f（x）=，
当x≥时，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，
当0＜x＜时，f′（x）=-a+，
由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得＜x＜，此时函数单调递减，
综上当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），[，+∞），单调递减区间为（，）．
（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx-，
由F（x）=0得|ax-2|=-lnx，
则k(x)=-lnx，则函数在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，
当时，y=|ax-2|的零点为∈（0，1],
当x时，F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx，
由F（x）=0，得，即.
令，，所以在单调递增，，又，所以时，
因为，所以时F（x）无零点.
当x≥时，y=ax-2，设h（x）=ax-2，
当h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3时，两个函数有1个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，
当h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3时，两个函数有0个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，
综合得2≤a＜3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，a≥3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.