2017-2018学年山西省长治市第二中学高二下学期期末考试数学（文）试题 解析版 17页

绝密★启用前 山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,再判断选项的正误得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得集合A=,所以,A∩B={0},‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．已知(为虚数单位) ，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用复数的除法计算得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎3．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).‎ ‎4．下列命题中，真命题是 A． 若，且，则中至少有一个大于1‎ B． ‎ C． 的充要条件是 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一判断每一个选项的真假得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,假设x≤1，y≤1，所以x+y≤2，与已知矛盾，所以原命题正确.‎ 当x=2时，2x=x2，故B错误．‎ 当a=b=0时，满足a+b=0，但=﹣1不成立，故a+b=0的充要条件是=﹣1错误，‎ ‎∀x∈R，ex＞0，故∃x0∈R，错误，‎ 故正确的命题是A，‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎（1‎ ‎）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.‎ ‎5．已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出p的值，再写出抛物线的焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 由题得2p=4,所以p=2,所以抛物线的焦点坐标为（1,0）.故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)抛物线的焦点坐标为.‎ ‎6．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是 A． 大前提 B． 小前提 C． 推理形式 D． 以上都是 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A.‎ ‎【详解】‎ 由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.‎ ‎7．设，，，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得 ，a>0,b>0.‎ 所以.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.‎ ‎8．已知向量，，若∥，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据∥得到，解方程即得x的值.‎ ‎【详解】‎ 根据∥得到.‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果=,=，则||的充要条件是.‎ ‎9．若则的值为 ．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出f(2)的值，再计算的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得f(2)=,故答案为：C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)分段函数求值关键是看自变量在哪一段.‎ ‎10．已知为等比数列, ,,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ，由等比数列性质可知 考点：等比数列性质 视频 ‎11．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(　　)‎ A． 72 cm3 B． 90 cm3 C． 108 cm3 D． 138 cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3；‎ 其几何体的体积为：V=3×4×6+×3×4×3=90（cm3）．‎ 故答案选：B．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数.，若方程在区间上有四个不同的根，则 A． -8 B． -4 C． 8 D． -16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．‎ ‎【详解】‎ f(x-8)=f[(x-4)-4]=-f(x-4)=-·-f(x)=f(x),所以函数是以8为周期的函数，‎ 函数是奇函数，且在[0，2]上为增函数，‎ 综合条件得函数的示意图，由图看出，‎ 四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6）=-12，‎ 另两个交点的横坐标之和为2×2=4，‎ 所以x1+x2+x3+x4=﹣8．‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)‎ 本题主要考查函数的图像和性质（周期性、奇偶性和单调性），考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出函数的周期，画出函数的草图，利用数形结合分析解答.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知幂函数的图象过点，则_______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出幂函数的解析式为，利用图象过点求出a的值，再求f(9)的值.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数为.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查幂函数的解析式的求法和应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求幂函数的解析式，一般利用待定系数法.‎ ‎14．设函数是偶函数，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据f(-x)=f(x)即得a的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得f（-x）=f(x),所以（-x+1）(-x+a)=(x+1)(x+a),所以（a+1）x=0对于x∈R恒成立，所a+1=0,所以a=-1.‎ 故答案为：-1‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查偶函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)偶函数满足f（-x）=f(x)对定义域内的每一个值都成立.‎ ‎15．函数的最小值是 _____________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题得+1.(当且仅当即x=2时取等)‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形+1.‎ ‎16．已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．‎ ‎【详解】‎ 如图：∵AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2‎ ‎∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，‎ ‎∴AD⊥平面ABC，‎ ‎∵AB=BC=1，AC=，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面DAB，‎ ‎∴CD是三棱锥的外接球的直径，‎ ‎∵AD=2，AC=，‎ ‎∴CD=，‎ ‎∴三棱锥的外接球的表面积为4π（）2=6π．‎ 故答案为：6π ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.(3)解答本题的关键是证明CD是三棱锥的外接球的直径.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在锐角三角形中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用二倍角公式化简即得A的值.(2)先利用正弦定理化简得，再利用余弦定理求a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴ , ‎ 又因为为锐角三角形， ， ， .‎ ‎⑵， ， ， .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”‎ ‎（1）求的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率） ‎ ‎（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎15‎ 女 ‎45‎ 合计 附：.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）人；‎ ‎（2）列联表如下：‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 有99%的把握认为“读书迷”与性别有关 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由频率分布直方图算出“读书迷”的频率，总人数乘以频率即可求出“读书迷”的人数；‎ ‎（2）由频率分布直方图求出“读书迷”与“非读书迷”的人数，再根据表中数据可求出相应的男女人数，填入表格即可得到列联表，将表中数据代入所给公式求出观察值，由临界值可得出结论.‎ 试题解析： （1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）×10=1，可得x=0.025， ‎ 因为（ 0.025+0.015）×10=0.4，将频率视为概率，‎ 由此可以估算出全校3000名学生中读书迷大概有1200人. ‎ ‎（2）完成下面的2×2列联表如下 ‎ ‎ 非读书迷 读书迷 合计 男 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…8分 ‎.‎ ‎,有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.‎ 考点：1.独立性检验；2.频率分布直方图.‎ ‎19．如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,,是线段的中点.‎ ‎⑴证明：平面；‎ ‎⑵若,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先证明PC⊥底面ABCD,再证明平面.(2)先求出PC的长度，再求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取AB的中点M，连接CM，‎ 四边形CDAM为正方形，CM=MA=MB,∴AC⊥CB,‎ ‎,‎ 所以AC⊥平面PBC.‎ ‎⑵,,在Rt△PCA中，,而,.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）求几何体的体积常用是有公式法、割补法和体积变换法.‎ ‎20．设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆E的方程.(2) 设，根据以为直径的圆经过点得到，再根据为椭圆上一点得，解方程组得，即证点在直线上.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，‎ ‎，又 ， ，‎ ‎ 椭圆的方程为： . ‎ ‎（2）证明：由题意知，从而椭圆的方程为：，则：‎ ‎，，‎ 设，由题意知，则直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为：，当时， ，‎ 即点，直线的斜率 ，以为直径的圆经过点，‎ 化简得 ，①‎ 又 为椭圆上一点，且在第一象限内， ，②‎ 由①②解得，，即点在直线上.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是根据以为直径的圆经过点得到.‎ ‎21．设函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用导数的几何意义求出a,b的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为，再构造函数证明其最大值小于1即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴，由已知，，故a=-2,b=-2.‎ ‎，当时，，‎ 当时，，故f(x)在单调递减，在单调递减； ‎ ‎⑵，即，设，‎ ‎，所以g(x)在递增，在递减，‎ 当x≥0时，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)‎ 解答本题的关键是转化为证明.‎ ‎22．已知直线的参数方程是 ，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用极坐标公式化曲线C为直角坐标方程.（2）由题意知,利用两点间的距离公式求出|MN|,再利用三角函数知识求其最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴由题得.‎ ‎⑵由题意知,‎ ‎，‎ 当时，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查距离最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）求函数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴①当x＜-1时，；‎ ‎②当-1≤x≤2时，，；‎ ‎③当时，，；‎ 综上，不等式的解集为； ‎ ‎⑵，由其图知，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.‎