2019-2020学年江西省赣州市寻乌中学高二上学期第二次段考数学（理）试题 Word版 10页

江西省赣州市寻乌中学 2019-2020 学年高二上学期第 二次段考数学（理科）试题 （考试时间：120 分钟，试卷满分：150 分。） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每一小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．从已经编号的 名学生中抽取 20 人进行调查，采用系统抽样法若第 1 组抽取的号码是 2，则第 10 组抽取的号码是 　　 A．74 B．83 C．92 D．96 2．已知 （ ，-1，3）， （ ，4，-2）， （ ，3，λ），若 、 、 三向 量共面，则实数 λ 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出 2 个球都是红球的概率为 ，从 盒中取出 2 个球都是黄球的概率是 ，则从盒中任意取出 2 个球恰好是同一颜色 的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知变量 与 线性相关，由观测数据算得样本的平均数 ， ，线性回 归方程 中的系数 ， 满足 ，则线性回归方程为（ ） A． B． C． D． 5．关于直线 m、n 及平面 α、β，下列命题中正确的是（ ） A．若 , ,则 B．若 , ,则 C．若 , ,则 D．若 , ,则 6．下列有关命题的说法中错误的是（ ） ( )180 1 180～ ( ) a = 2 b = 1− c = 1 a b c 3 28 5 14 13 28 5 7 15 28 3 7 x y 3x = 4y = y bx a= + b a 2− =b a  7y x= − +  1 3 2 2y x= − −  1y x= +  3 1 2 2y x= − m α⊥ / /m β α β⊥ / /m α / /n α //m n / /m α m n⊥ n α⊥ / /m α nα β = //m n A．若 为假命题,则 p、q 均为假命题 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．命题“若 ,则 “的逆否命题为：“若 ,则 ” D．对于命题 p： ,使得 ,则 ： ,均有 7．已知直线 在两坐标轴上的截距相等，则实数 　　 A．1 B． C． 或 1 D．2 或 1 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　） A． B． C． D． 9．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 . 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定 理》，执行该程序框图，则输出 的值等于（ ） A．29 B．30 C．31 D．32 10．如图圆锥的高 ，底面直径 是圆 上一点，且 ，则 p q∧ 1x = 2 3 2 0x x− + = 2 3 2 0− + =x x 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 2 0ax y a+ − + = (a = ) 1− 2− 4 8 3 π+ + 4 8 3 2π+ + 8 8 3 π+ + 8 8 3 2π+ + N m n (mod )N n m≡ 10 3(mod7)≡ n 3SO = 2,AB C= O 1AC = SA 与 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 11．过点 作圆 的两条切线，设两切点分别为 、 ，则 直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 12．在三棱锥 中， ， ， ， ，平面 平面 ，若球 是三棱锥 的外接球，则球 的半径为（ ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13．若直线 l 的方向向量为 =(1,-2,3),平面 α 的法向量为 =(2,x,0),若 l∥α,则 x 的值等于______. 14．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐 以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4 厘米，中间有边长为 1 厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽 略不计），则油恰好落入孔中的概率是____． 15．过点 的直线 l 与圆 C：（x﹣1）2+y2＝4 交于 A、B 两点，C 为圆心， 当∠ACB 最小时，直线 l 的方程为_____________________． 16．已知正方体 的棱长为 ，点 E，F，G 分别为棱 AB， ， 的中点，下列结论中，正确结论的序号是___________. BC 3 4 3 3 1 4 1 3 ( ),P 5 3 2 2 9x y+ = A B AB 4 3 9 0x y+ − = 3 4 9 0x y+ − = 5 3 9 0x y+ − = 5 3 9 0x y− + = P ABC− 3PA PB= = 4 2BC = 8AC = AB BC⊥ PAB ⊥ ABC O P ABC− O 113 2 93 2 65 2 3 2 2 a n 1( ,1)2M 1 1 1 1ABCD A B C D− a 1AA 1 1C D ①过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ② 平面 EFG； ③ 平面 ； ④异面直线 EF 与 所成角的正切值为 ； ⑤四面体 的体积等于 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本题 10 分）已知 ， ，其中 ． （1）若 ，且 为真，求 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围． 18.（本题 12 分）已知点 ，圆 . （1）求过点 且与圆 相切的直线方程； （2）若直线 与圆 相交于 ， 两点，且弦 的长为 ， 求实数 的值. 19．（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°， 且 FA=FC，AB=2，AC 与 BD 交于点 O. (1)求证:FO⊥平面 ABCD； (2)求 AF 与平面 BFC 所成角的正弦值. 20．（本题 12 分）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，我省某帮 扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植脐 橙，并利用互联网电商进行销售，为了更好销售，现从该村的脐橙树上随机摘下 100 1 1 / /B D 1BD ⊥ 1ACB 1BD 2 2 1 1ACB D 31 2 a 2: 7 10 0p x x− + < 2 24 3 0q : x mx m− + < 0m > 4m = p q∧ x q¬ p¬ m (3,3)M ( ) ( ) 2 2: 1 2 4C x y- + - = M C 4 0( )ax y a− + = ∈R C A B AB 2 3 a 个脐橙进行测重，其质量分布在区间 （单位：克），统计质量的数据作出 其频率分布直方图如图： （1）按分层抽样的方法从质量落在 ， 的脐橙中随机抽取 5 个， 再从这 5 个脐橙中随机抽 2 个，求这 2 个脐橙质量至少有一个不小于 400 克的概 率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该 村的脐橙种植地上大约还有 100000 个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有脐橙均以 7 元/千克收购； B．低于 350 克的脐橙以 2 元/个收购，其余的以 3 元/个收购 请你通过计算为该村选择收益较好的方案. （ 参 考 数 据 ： （ ） 21．（本题 12 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 中点． （1）求证： 平面 ； （2）在棱 上存在一点 ，满足 ，求平面 与平面 所成 锐二面角的余弦值． [200,500] [350,400) [400,450) 225 0.05 275 0.16 325 0.24 375 0.3 425 0.2 475 0.05 354.5× + × + × + × + × + × = 1 1 1ABC A B C− 90BAC∠ =  1 2AB AC AA= = = E BC 1 / /A B 1AEC 1AA M 1 1B M C E⊥ 1MEC 1 1ABB A 22．（本题 12 分）在平面直角坐标系 中，已知圆 的方程为 ，过 点 的直线 与圆 交于两点 ， ． （1）若 ，求直线 的方程； （2）若直线 与 轴交于点 ，设 ， ， ， R，求 的 值． xOy O 2 2 16x y+ = (0,1)M l O A B 3 7AB = l l x N NA mMA=  =NB nMB  m n∈ m n+ 数学（理科）试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D A A D C D A C A 13．1 14． 15．2x﹣4y+3＝0 16．①③④ 17．解（1） ，∴ 为真命题时实数 的取值范围是 ， ，所以同理 为真命题时，实数 的取值范围是 ． 又 为真，则 同时为真命题，即 的取值范围的交集，为 ． 即 时，且 为真， 的取值范围是 ． ……5 分 （2）因为 是 的充分不必要条件，即 是 的充分不必要条件，即 又命题 为真命题时，实数 的取值范围是 ， 所以 ，解得 ． 故实数 m 的取值范围是 ． ……10 分 18．解:（1）由圆的方程得到圆心 ，半径 . 当直线斜率不存在时，直线 与圆 显然相切； ……2 分 当直线斜率存在时，设所求直线方程为 ，即 ， 由题意得： ，解得 ， ∴ 方程为 ，即 . ……6 分 故过点 且与圆 相切的直线方程为 或 . ……7 分 （2）∵ 弦长 为 ，半径为 2. 圆心到直线 的距离 ， ∴ ， 解得 . ……12 分 19．（1）证明：连接 FO、FD， 1 4π 2: 7 10 0p x x− + < p x (2,5) 4m = q x (4,12) p q∧ ,p q x 4 5x< < 4m = p q∧ x (4,5) q¬ p¬ p q p q⊆ q x ( ,3 )m m 2 3 5 m m ≤  ≥ 5 23 m≤ ≤ 5[ ,2]3 (1,2) 2r = 3x = C 3 ( 3)y k x− = − 3 3 0kx y k− + − = 2 | 2 3 3 | 2 1 k k k − + − = + 3 4k = − 33 ( 3)4y x− = − − 3 4 21 0x y+ − = M C 3x = 3 4 21 0x y+ − = AB 2 3 4 0ax y− + = 2 | 2 | 1 ad a += + 22 2 | 2 | 2 3 421 a a   + + =    +    3 4a = − ∵FA＝FC，∴FO⊥AC， ∵四边形 BDEF 为菱形，且∠DBF＝60°， ∴△DBF 为等边三角形， ∴O 为 BD 中点．∴FO⊥BD， 又∵O 为 AC 中点，且 FA＝FC， ∴AC⊥FO，又 AC∩BD＝O，∴FO⊥平面 ABCD， ……5 分 （2）由 OA，OB，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz． 因为四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°， 则 BD＝2，所以 OB＝1， ． 所以 ． ……7 分 所以 ， ． ……8 分 设平面 BFC 的法向量为 ， 则有 ，所以 ，取 x＝1，得 ． ……10 分 所以 ． ……11 分 则 ． ……12 分 20．解：（1）由题得脐橙质量在 和 的比例为 3：2. 应分别在质量为 和 的脐橙中各抽取 3 个和 2 个. ……1 分 记抽取质量在 的脐橙为 ， ，质量在 则从这 5 个脐橙中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……4 分 其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 ……6 分 （2）方案 好，理由如下： ……7 分 由频率分布直方图可知，脐橙质量在 的频率为 同理，质量在 3OA OF= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 3 0 0 01 0 3 0 0 0 0 3O A B C F−，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ( )3 0 3CF = ，， ( )31 0CB = ，， ( )3 0 3AF = − ，， ( )n x y z= ， ， 0 0 n CF n CB  ⋅ = ⋅ =   3 3 0 3 0 x z x y  + = + = ( )1 3 1n = − − ， ， 2 3 10 56 5 AF ncos AF n AF n ⋅ −= = = −     ＜ ， ＞ 10 5sin cos AF nθ = = ＜ ， ＞ [ )350,400 [ )400,450 ∴ [ )350,400 [ )400,450 [ )350,400 1 2A A， 3A [ )400,450 1 2A A 1 3A A 2 3A A 1 1A B 2 1A B 3 1A B 1 2A B 2 2A B 3 2A B 1 2B B 7 10 B [ )200,250 50 0.001 0.05× = ， ， ， ， 的频率依次为 0.16.0.24.0.3， 0.2，0.05 若按方案 收购： 脐橙质量低于 350 克的个数为 个 脐橙质量不低于 350 克的个数为 55000 个 收益为 元 ……9 分 若按方案 收购： 根据题意各段脐橙个数依次为 5000，16000.24000，30000，20000.5000. 于是总收益为 （元） ……11 分 方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 . ……12 分 21．（1）证明：连结 交 于点 ，连结 是正方形 为 的中点 又 为 的中点 平面 , 平面 平面 ……5 分 （2）以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则 ， ， ， ， 设 ， ，则 ， ，解得： ……7 分 ，则 ， 设平面 的法向量 则 ，令 ，得 ……9 分 平面 可取平面 的法向量为 ……10 分 [ )250,300 [ )300,350 [ )350,400 [ )400,450 [ ]450,500 B  ( )0.05 0.16 0.24 100000 45000+ + × = ∴ 45000 2 55000 3 255000× + × = A ( )225 5000 275 16000 325 24000 375 30000 425 20000 475 5000× + × + × + × + × + × 7 1000 248150× ÷ = ∴ B A B 1AC 1AC O EO 1 1ACC A O∴ 1AC E CB 1/ /EO A B∴ EO ⊂ 1AEC 1A B ⊄ 1AEC 1 / /A B∴ 1AEC A ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )1 2,0,2B ( )0,2,0C ( )1,1,0E ( )0,0,M m 0 2m≤ ≤ ( )1 2,0, 2B M m= − − ( )1 1, 1, 2C E = − − 1 1B M C E⊥ ( )1 1 2 2 2 0B M C E m∴ ⋅ = − − − =  1m = ( )0,0,1M∴ ( )1,1, 1ME = − ( )1 0,2,1MC = 1MEC ( ), ,n x y z= 1 0 2 0 ME n x y z MC n y z  ⋅ = + − = ⋅ = + =     1y = − ( )3, 1,2n = −r AC ⊥ 1 1ABB A ∴ 1 1ABB A ( )0,2,0AC = ……11 分 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为： ……12 分 22．解：（1）当直线 的斜率不存在时， ，不符合题意； ……1 分 当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ， 所以圆心 到直线 的距离 ， 因为 ，所以 ，解得 ， 所以直线 的方程为 ． . ……5 分 （2）当直线 的斜率不存在时，不妨设 ， ， ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， ，所以 ． ……7 分 当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为： ， 因为直线 与 轴交于点 ，所以 ． 直线 与圆 交于点 ， ，设 ， ， 由 得， ，所以 ， ； 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ， ， ……10 分 所以 ． ……11 分 综上， ． ……12 分 14cos , 14 AC n AC n AC n ⋅ ∴ < > = =       ∴ 1MEC 1 1ABB A 14 14 l 8AB = l k l 1y kx= + O l 2 1 1 d k = + 3 7AB = 2 2 13 7 2 16 ( ) 1 AB k = = − + 3k = ± l 3 1y x= ± + l (0,4)A (0, 4)B − (0,0)N NA mMA=  NB nMB=  (0,4) (0,3)m= (0, 4) (0, 5)n− = − 4 3m = 4 5n = 32 15m n+ = l k l 1y kx= + l x N 1( ,0)N k − l O A B 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 16, 1 x y y kx  + =  = + 2 2( 1) 2 15 0k x kx+ + − = 1 2 2 2 1 kx x k + = − + 1 2 2 15 1x x k = − + NA mMA=  NB nMB=  1 1 1 1 1( , ) ( , 1)x y m x yk + = − 2 2 2 2 1( , ) ( , 1)x y n x yk + = − 1 1 1 1 11 x km x kx + = = + 2 2 2 1 11 x kn x kx + = = + 21 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3212 ( ) 2 2 215 15 15 1 k x x km n k x x k x x k k −+ ++ = + + = + = + = + = − + 32 15m n+ =